1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知平面和平面的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则()A.B.C.与相交但不垂直D.以上都不对答案B解析n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),n=-2m.mn.与平行.2.如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示向量MN为()A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.-12a+12b+12cD.-12a+12b-12c答案C解析如
2、图所示,连接ON,AN,则ON=12(OB+OC)=12(b+c),所以MN=ON-12OA=-12a+12b+12c.3.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AEAF的值为()A.a2B.14a2C.12a2D.34a2答案B解析在正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,AE=AB+BE,AF=12AD.则AEAF=(AB+BE)12AD=12ABAD+12BEAD.因为是正四面体,所以BEAD,BAD=3,即BEAD=0,ABAD=|AB|AD|cos3=a22,所以AEAF=a24,故选B.4.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),
3、|c|=14,若(a+b)c=7,则a与c的夹角为()A.30B.60C.120D.150答案C解析设向量a+b与c的夹角为,因为a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=14,cos=(a+b)c|a+b|c|=12,所以=60.因为向量a+b与a的方向相反,所以a与c的夹角为120.5.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.45B.35C.34D.55答案A解析取AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设三棱柱的棱长为2,则A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(
4、3,0,2),AD=(0,1,2),CD=(0,-1,2),CB1=(3,-1,2).设n=(x,y,z)为平面B1CD的一个法向量,由nCD=0,nCB1=0,得-y+2z=0,3x-y+2z=0,故x=0,y=2z,令z=1,得n=(0,2,1).设直线AD与平面B1DC所成角为,则sin=|cos|=|ADn|AD|n|=455=45,所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为45.故选A.6.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.当A1,E,F,C1四点共面时,平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的平面角的余弦值为()A.
5、32B.12C.15D.265答案B解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(6,0,6),E(6,3,0),F(3,6,0).设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得n1DE=6a+3b=0,n1DA1=6a+6c=0,令a=-1,则c=1,b=2,所以n1=(-1,2,1).同理得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),由题图知,平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的平面角的余弦值为|n1n2|n1|n2|=12.7.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当Q
6、AQB取得最小值时,点Q的坐标为()A.12,34,13B.12,32,34C.43,43,83D.43,43,73答案C解析Q在直线OP上,可设Q(x,x,2x),则QA=(1-x,2-x,3-2x),QB=(2-x,1-x,2-2x).QAQB=6x2-16x+10,当x=43时,QAQB最小,这时Q43,43,83.8.在三棱锥P-ABC中,PC底面ABC,BAC=90,AB=AC=4,PBC=60,则点C到平面PAB的距离是()A.3427B.4427C.5427D.6427答案B解析在三棱锥P-ABC中,PC底面ABC,BAC=90,AB=AC=4,PBC=60,以A为原点,AB所在
7、直线为x轴,AC所在直线为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,4,0),P(0,4,46),A(0,0,0),B(4,0,0),AC=(0,4,0),AB=(4,0,0),AP=(0,4,46),设平面PAB的法向量n=(x,y,z),则nAP=4y+46z=0,nAB=4x=0,取z=1,得n=(0,-6,1),点C到平面PAB的距离d=|ACn|n|=467=4427.故选B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.空间四个点O,A,B,C,OA,OB,O
8、C为空间的一个基底,则下列说法正确的是()A.O,A,B,C四点不共线B.O,A,B,C四点共面,但不共线C.O,A,B,C四点中任意三点不共线D.O,A,B,C四点不共面答案ACD解析若O,A,B,C四点共面,则OA,OB,OC共面,不可能为空间的一个基底.故AD正确,B不正确;若O,A,B,C中有三点共线,则四点一定共面,故C也正确.10.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b夹角为钝角,则x的取值可以是()A.-2B.1C.53D.2答案BD解析因为a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),所以ab=-13-2(x-1)-3=-2x-4.因为a与b夹角为钝
9、角,所以cos=ab|a|b|0,且a与b不反向共线,又因为a与b共线时,有3-1=-2x-1=-31,即x=53,此时a与b反向,所以ab=-2x-4-2且x53.对照选项可得B,D.11.在四面体P-ABC中,下列说法正确的有()A.若AD=13AC+23AB,则可知BC=3BDB.若Q为ABC的重心,则PQ=13PA+13PB+13PCC.若PABC=0,PCAB=0,则PBAC=0D.若四面体P-ABC各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则|MN|=1答案ABC解析对于A,AD=13AC+23AB,3AD=AC+2AB,2AD-2AB=AC-AD=DC,2BD=DC,3BD=B
10、D+DC,即3BD=BC,故A正确;对于B,若Q为ABC的重心,则QA+QB+QC=0,3PQ+QA+QB+QC=3PQ,3PQ=PA+PB+PC,即PQ=13PA+13PB+13PC,故B正确;对于C,若PABC=0,PCAB=0,则PABC+PCAB=0,PABC+PC(AC+CB)=0,PABC+PCAC+PCCB=0,(PA-PC)BC+PCAC=0,CABC+PCAC=0,AC(CB+PC)=0,ACPB=0,故C正确;对于D,MN=PN-PM=12(PB+PC)-12PA=12(PB+PC-PA),|MN|=12|PA-PB-PC|,|PA-PB-PC|=PA2+PB2+PC2-2
11、PAPB-2PAPC+2PBPC=22+22+22-22212-22212+22212=22,|MN|=2.故D错误.12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段B1C上运动,则()A.直线BD1平面A1C1DB.三棱锥P-A1C1D的体积为定值C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是45,90D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为63答案ABD解析对于选项A,连接B1D1,由正方体可得A1C1B1D1,且BB1平面A1B1C1D1,则BB1A1C1,所以A1C1平面BD1B1,故A1C1BD1;同理,连接AD1,易证得A1DBD1,则BD1平面A1C1D,故
12、A正确;对于选项B,VP-A1C1D=VC1-A1PD,因为点P在线段B1C上运动,所以SA1DP=12A1DAB,面积为定值,且C1到平面A1PD1的距离即为C1到平面A1B1CD的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确;对于选项C,当点P与线段B1C的端点重合时,AP与A1D所成角取得最小值为60,故C错误;对于选项D,因为直线BD1平面A1C1D,所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大,则直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大,则P运动到B1C中点处,即所成角为C1BD1,设棱长为1,在RtD1C1B中,cosC1BD1=C1BBD1=23=63,故D正确.三、填空题:本题
13、共4小题,每小题5分,共20分.13.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是.答案13,-23,23解析设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则ABn=0,ACn=0,即2x+2y+z=0,4x+5y+3z=0.令z=1,得x=12,y=-1,所以n=12,-1,1,故平面ABC的单位法向量为n|n|=13,-23,23.14.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1边长为1,下底面ABCD边长为2,侧棱与底面所成的角为60,则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.答案14解析设上、下底面中心分别为O1,O,则OO1平面ABCD,
14、以O为原点,直线BD,AC,OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为AB=2,A1B1=1,所以AC=BD=22,A1C1=B1D1=2.因为平面BDD1B1平面ABCD,所以B1BO为侧棱与底面所成的角,故B1BO=60.设棱台高为h,则tan60=h2-22,h=62,所以A(0,-2,0),D1-22,0,62,B122,0,62,C(0,2,0),所以AD1=-22,2,62,B1C=-22,2,-62,故cos=AD1B1C|AD1|B1C|=14,故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为14.15.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=3,将矩形ABCD沿对角线AC折起,
15、使平面ABC与平面ACD垂直,则B与D之间的距离为.答案102解析如图,过点B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N.则可求得AM=12,BM=32,CN=12,DN=32,MN=1.由于BD=BM+MN+ND,所以|BD|2=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|MN|2+|ND|2+2(BMMN+MNND+BMND)=322+12+322+2(0+0+0)=52,故|BD|=102.16.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,P,Q是正方体表面上相异两点,满足BPA1E,BQA1E.(1)若P,Q均在平面A1B1C1D1内,则PQ与BD的位置关系是;(2)|A1
16、P|的最小值为.答案(1)平行(2)324解析(1)以D为空间直角坐标系的原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,A1(1,0,1),E0,1,12,B(1,1,0),因为若P,Q均在平面A1B1C1D1内,所以设P(a,b,1),Q(m,n,1),A1E=-1,1,-12,BP=(a-1,b-1,1),BQ=(m-1,n-1,1),因为BPA1E,BQA1E,所以BPA1E=-(a-1)+(b-1)-12=0,BQA1E=-(m-1)+(n-1)-12=0,解得b-a=12,n-m=12,PQ=(n-b,n-b,0),BD=(1,1,0),所以P
17、Q与BD的位置关系是平行.(2)由(1)可知b-a=12,|A1P|=(a-1)2+b2=(a-1)2+a+122=2a2-a+54=2a-142+98.当a=14时,|A1P|有最小值,最小值为324.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得OEb?(O为原点)解(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=02+(-5)2+52=52.(2)
18、OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若OEb,则OEb=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=95,因此存在点E,使得OEb,此时点E的坐标为E-65,-145,25.18.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=2,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.(1)求证:AB1平面BC1D;(2)求异面直线AB1与BC1所成的角.(1)证明如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.因为O为B1C的中点,D为AC的中点,所以ODAB1.因为AB1平面BC1D,OD平面BC1D,
19、所以AB1平面BC1D.(2)解建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2),因此AB1=(0,-2,2),BC1=(2,0,2).所以cos=AB1BC1|AB1|BC1|=0+0+42222=12,设异面直线AB1与BC1所成的角为,则cos=12,由于0,2,故=3.19.(12分)如图,已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=AF=2,ADC=60.(1)求直线BF与平面ABCD的夹角;(2)求点A到平面FBD的距离.解设ACBD=O,因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,所以易得AF平
20、面ABCD;以O点为坐标原点,以OD所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,过O点且平行于AF的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系,(1)由已知得A(0,1,0),B(-3,0,0),C(0,-1,0),D(3,0,0),F(0,1,2),因为z轴垂直于平面ABCD,因此可令平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),又BF=(3,1,2),设直线BF与平面ABCD的夹角为,则有sin=|cos|=|mBF|m|BF|=2122=22,即=4,所以直线BF与平面ABCD的夹角为4.(2)因为BD=(23,0,0),BF=(3,1,2),设平面FBD的法向量为n=(x,y,z),BDn=0,BF
21、n=0,解得23x=0,3x+y+2z=0,令z=1得n=(0,-2,1),又因为AF=(0,0,2),所以点A到平面FBD的距离d=|AFn|n|=25=255.20.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱A1B1上,E,F分别是CC1,BC的中点,AEA1B1,AA1=AB=AC=2.(1)证明:DFAE;(2)当D为A1B1的中点时,求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值.(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有AA1A1B1,又因为AEA1B1,AEAA1=A,所以A1B1平面AA1C1C,因为A1C1平面AA1C1C,所以A1B1A1C1.所以
22、ABAC,ABAA1,ACAA1,如图,分别以AC,AA1,AB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,则C(2,0,0),B(0,0,2),A(0,0,0),A1(0,2,0),F(1,0,1),E(2,1,0).设D(0,2,t),则FD=(-1,2,t-1),AE=(2,1,0),FDAE=(-1,2,t-1)(2,1,0)=0,所以DFAE.(2)解当D为A1B1的中点时,D(0,2,1),EF=(-1,-1,1),FD=(-1,2,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则nEF=0,nDF=0,即x+y-z=0,x-2y=0,令y=1得,n=(2,1,3),
23、容易知平面ABC的法向量为n0=(0,1,0),所以cos=nn0|n|n0|=122+12+321=1414,即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值为1414.21.(12分)如图所示,已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且平面PAD平面ABCD,底面ABCD是菱形,且ABC=60,M为棱PC上的动点,且PMPC=(0,1).(1)求证:BCPC;(2)试确定的值,使得平面PAD与平面ADM所成锐二面角的平面角的余弦值为1010.(1)证明取AD的中点O,连接OP,OC,AC,由题意可得PAD,ACD均为正三角形,所以OCAD,OPAD.又OCOP=O,所以
24、AD平面POC.又PC平面POC,所以ADPC.因为BCAD,所以BCPC.(2)解由(1)可知POAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD.故可得OP,OC,OD两两垂直,以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,3),A(0,-1,0),D(0,1,0),C(3,0,0),所以PC=(3,0,-3).由PM=PC=(3,0,-3)(0,1),可得点M的坐标为(3,0,3-3),所以AM=(3,1,3-3),DM=(3,-1,3-3).设平面MAD的法向量为n=(x,y,z),由nAM=3x+y+(3-3)z=
25、0,nDM=3x-y+(3-3)z=0,即x=-1z,y=0,令z=,则n=(-1,0,).又平面PAD的一个法向量为OC=(3,0,0),设平面PAD与平面ADM所成锐二面角的平面角为,则cos=|cos|=|nOC|n|OC|=|3(-1)|2+(-1)23=1010,解得=34或=32(舍去).所以当=34时,平面PAD与平面ADM所成锐二面角的平面角的余弦值为1010.22.(12分)如图所示,等腰梯形ABCD中,ABCD,AD=AB=BC=2,CD=4,E为CD中点,AE与BD交于点O,将ADE沿AE折起,使点D到达点P的位置(P平面ABCE).(1)证明:平面POB平面ABCE;(
26、2)若PB=6,试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点),使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为155,若存在,求出PQOB的值;若不存在,说明理由.(1)证明在梯形ABCD中,连接BE,在等腰梯形ABCD中,AD=AB=BC=2,CD=4,E为中点,四边形ABED为菱形,BDAE,OBAE,ODAE,即OBAE,OPAE,且OBOP=O,OB平面POB,OP平面POB,AE平面POB.又AE平面ABCE,平面POB平面ABCE.(2)解由(1)可知四边形ABED为菱形,AD=DE=2,在等腰梯形ABCD中,AE=BC=2,PAE为正三角形,OP=3,同理OB=3,PB=6,OP2+OB2
27、=PB2,OPOB.由(1)可知OPAE,OBAE,以O为原点,OE,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,由题意得,各点坐标为P(0,0,3),A(-1,0,0),B(0,3,0),C(2,3,0),E(1,0,0),PB=(0,3,-3),PC=(2,3,-3),AE=(2,0,0),设PQ=PB(01),AQ=AP+PQ=AP+PB=(1,3,3-3),设平面AEQ的一个法向量为n=(x,y,z),则nAE=0,nAQ=0,即2x=0,x+3y+(3-3)z=0,取x=0,y=1,得z=-1,n=0,1,-1,设直线PC与平面AEQ所成角为,0,2,则sin=|cos|=|PCn|PC|n|=155,即3+31-101+-12=155,化简得42-4+1=0,解得=12,存在点Q为PB的中点时,使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为155.|PB|=(3)2+(-3)2=6,|PQ|=12|PB|=62.|OB|=3,|PQ|OB|=623=22.14