1、学业分层测评（十）(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1设a，b，cR，且abc1，则的最大值是()A1B.C3D.9【解析】由柯西不等式得()2()2()2(121212)()2，()2313，当且仅当abc时等号成立的最大值为.故选B.【答案】B2设a，b，c是正实数，且abc9，则的最小值为() 【导学号：32750054】A4 B3C6D.2【解析】(abc)()2()2()2218.2.【答案】D3设a1，a2，an为实数，P，Q，则P与Q的大小关系为()APQ BPQCPQD.不确定【解析】由柯西不等式知a1a2an，a1a2an，即得，PQ.【答案】B4若实数xyz1，则F2
2、x2y23z2的最小值为()A1B6 C11D.【解析】(2x2y23z2)xy1z(xyz)21，2x2y23z2，即F，当且仅当2xy3z时，取等号【答案】D5已知x，y，z均大于0，且xyz1，则的最小值为()A24B30C36D48【解析】(xyz)236，36.【答案】C二、填空题6已知a，b，cR，且2a2bc8，则(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是_【解析】由柯西不等式得：(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值
3、是.【答案】7已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_【解析】a2b3c6，1a12b13c6.(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号【答案】128设x，y，zR，若(x1)2(y2)2z24，则3xy2z的取值范围是_又3xy2z取最小值时，x的值为_【解析】(x1)2(y2)2z232(1)2(2)2(3x3y22z)2,414(3xy2z5)2，23xy2z52，即523xy2z52.若3xy2z52，又t，3(3t1)(t2)2(2t)52，t，x1.【答案】52，521三、解答题9已知正数
4、x，y，z满足xyz1.(1)求证：；(2)求4x4y4z2的最小值【解】(1)证明：(y2zz2xx2y)1，即31，.(2)由基本不等式，得4x4y4z23，因为xyz1，所以xyz21zz22，故4x4y4z233，当且仅当xy，z时等号成立，所以4x4y4z2的最小值为3.10已知f(x)ax2bxc的所有系数均为正数，且abc1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1x21时，必有f(x1)f(x2)1.【证明】由于f(x)ax2bxc，且a，b，c大于0，f(x1)f(x2)(axbx1c)(axbx2c)(x1x2c)2(ax1x2bc)2f()2f(1)2.又f(1)abc，且a
5、bc1，f(x1)f(x2)1.能力提升1若2ab0，则a的最小值为()A1 B3C8D.12【解析】2ab0，2ab0，a33.当且仅当2abb，即ab2时等号成立，当ab2时，a有最小值3.【答案】B2设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则()A. B.C. D.【解析】由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，当且仅当时取等号，因此有.【答案】C3已知a，b，cR，且abc6，则的最大值为_. 【导学号：32750055】【解析】由柯西不等式得：()2(111)2(121212)(2a2b12c3)3(264)48.当且仅当，即2a2b12c3时等号成立又abc6，a，b，c时，取得最大值4.【答案】44ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a2b2c2)36R2.【证明】由三角形中的正弦定理，得sin A，所以，同理，于是由柯西不等式可得左边(a2b2c2)236R2，原不等式得证
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