1、2015-2016学年四川省成都市都江堰市八一聚源高中高一（下）第二次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1计算：sin43cos13sin13cos43的值等于（）ABCD2已知=（1，3），=（x，1），且，则x等于（）A3BCD33函数f（x）=2sinxcosx是（）A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数4已知数列an）的通项公式为，则该数列的前4项依次为（）A1，0，1，0B0，l，0，lCD2，0，2，05如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB=45，
2、CAB=105后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A mB mC mD m6在ABC中，若acosAbcosB=0，则三角形的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形7已知函数f（x）=sinxcosx，xR，若f（x）1，则x的取值范围为（）Ax|k+xk+，kZBx|2k+x2k+，kZCx|k+xk+，kZDx|2k+x2k+，kZ8在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则（）AabBabCa=bDa与b的大小关系不能确定9在ABC中，A=60，b=1，其面积为，则等于（）A3BCD10若0，0，cos（+）=，co
3、s（）=，则cos（+）=（）ABCD11向量，在正方形网格中的位置如图所示，若=+（，R），则=（）A2B4CD12已知定义域为R的函数f（x）=（a、bR）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a=（）A1B2C3D4二、填空题（每小题5分，共20分）13函数f（x）=12sin2x的最小正周期为14已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=15已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=16观察下列等式：cos2=2cos21；cos4=8cos48cos2+1；cos6=32cos648cos4+18cos21；cos8=
4、128cos8256cos6+160cos432cos2+1；cos10=mcos101280cos8+1120cos6+ncos4+pcos21；可以推测，mn+p=三、解答题（共60分）17在等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式（）若数列an的前k项和Sk=35，求k的值18已知函数f（x）=sinx+sin（x+），xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值；（3）若f（）=，求sin 2的值19已知向量=（1，2），=（2，2）（1）设=4+，求；（2）若+与垂直，求的值；（3）求向量在方向上的投影20四边形ABCD的内角A与C互补，AB=
5、1，BC=3，CD=DA=2（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积21已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（xR）（）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；（）若f（x0）=，x0，求cos2x0的值22某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海
6、里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由2015-2016学年四川省成都市都江堰市八一聚源高中高一（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1计算：sin43cos13sin13cos43的值等于（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数【分析】利用两角差的正弦公式，把要求的式子化为sin（4313）=sin30，从而求得结果【解答】解：sin43cos13sin13cos43=sin（4313）=sin30=，故选D2已知=（1，3），=（x，1），且，则x等于（）A3BCD3【考点】平面向量共线（
7、平行）的坐标表示【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程化简求解即可【解答】解： =（1，3），=（x，1），且，可得3x=1，解得x=故选：B3函数f（x）=2sinxcosx是（）A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数【考点】二倍角的正弦【分析】本题考查三角函数的性质f（x）=2sinxcosx=sin2x，周期为的奇函数【解答】解：f（x）=2sinxcosx=sin2x，f（x）为周期为的奇函数，故选C4已知数列an）的通项公式为，则该数列的前4项依次为（）A1，0，1，0B0，l，0，lCD2，0，2，0【考点】数列的概念及简单
8、表示法【分析】利用公式，将n=1，2，3，4分别代入计算即可【解答】解：由通项公式，得当n=1时，a1=1，当n=2时，a1=0，当n=3时，a1=1，当n=4时，a1=0，即数列an的前4项依次为1，0，1，0故选A5如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB=45，CAB=105后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A mB mC mD m【考点】解三角形的实际应用【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，ACB，B的值求得AB【解答】解：由正弦定理得，故A，B两点的距离为50m，故选A6在ABC中，
9、若acosAbcosB=0，则三角形的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】解法1：把由余弦定理解出的余弦表达式代入已知的等式化简可得：（a2b2）c2=（a2b2）（a2+b2），分a2b2=0和a2b20两种情况讨论；解法2：根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90答案可得【解答】解：法1：cosA=，cosB=，a=b，化简得：a2c2a4=b2c2b4，即（a2b2）c2=（a2b2）（a2+b2），若a2b2=0时，a=b
10、，此时ABC是等腰三角形；若a2b20，a2+b2=c2，此时ABC是直角三角形，所以ABC是等腰三角形或直角三角形；法2：根据正弦定理可知acosA=bcosB，sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，A=B，或2A+2B=180即A+B=90，所以ABC为等腰或直角三角形故选D7已知函数f（x）=sinxcosx，xR，若f（x）1，则x的取值范围为（）Ax|k+xk+，kZBx|2k+x2k+，kZCx|k+xk+，kZDx|2k+x2k+，kZ【考点】三角函数的化简求值【分析】利用两角差的正弦函数化简函数f（x）=sinxcosx为一个角的一个三角函数的形式，根据f
11、（x）1，求出x的范围即可【解答】解：函数f（x）=sinxcosx=2sin（x），因为f（x）1，所以2sin（x）1，所以，所以f（x）1，则x的取值范围为：x|2k+x2k+，kZ故选：B8在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则（）AabBabCa=bDa与b的大小关系不能确定【考点】余弦定理；不等式的基本性质【分析】由余弦定理可知c2=a2+b22abcosC，进而求得ab=，根据0判断出ab【解答】解：C=120，c=a，由余弦定理可知c2=a2+b22abcosC，a2b2=ab，ab=，a0，b0，ab=，ab故选A9在ABC中，A=60，
12、b=1，其面积为，则等于（）A3BCD【考点】正弦定理【分析】由A的度数求出sinA和cosA的值，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入求出c的值，再由cosA，b，c的值，利用余弦定理求出a的值，由a及sinA的值，根据正弦定理求出三角形ABC外接圆的直径2R，根据等比合比性质即可求出所求式子的值【解答】解：A=60，b=1，其面积为，S=bcsinA=c=，即c=4，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=1+164=13，a=，由正弦定理得： =2R=，则=2R=故选B10若0，0，cos（+）=，cos（）=，则cos（+）=（）ABCD【
13、考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+）和sin（）的值，进而利用cos（+）=cos（+）（）通过余弦的两角和公式求得答案【解答】解：0，0，+，sin（+）=，sin（）=cos（+）=cos（+）（）=cos（+）cos（）+sin（+）sin（）=故选C11向量，在正方形网格中的位置如图所示，若=+（，R），则=（）A2B4CD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】如图所示，建立直角坐标系利用向量的坐标运算性质、向量相等即可得出【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（1，1），=（6，2），=（1，3）=+
14、（，R），解之得=2且=，因此，则=4故选：B12已知定义域为R的函数f（x）=（a、bR）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a=（）A1B2C3D4【考点】函数的最值及其几何意义【分析】先化简函数解析式后，由三角函数的辅助角公式求函数的值域，再根据最大值与最小值之和为6求得a的值【解答】解：由题意知，f（x）=a+，设y=a+，则ya=，即3sinx+（ay）cosx=2y2a，所以sin（x+）=2y2a，因为|sin（x+）|=|1，化简得（ya）23，所以aya+，因为函数f（x）的最大值与最小值的和为6，所以2a=6，解得a=3，故选：C二、填空题（每小题5分，共20分）
15、13函数f（x）=12sin2x的最小正周期为【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期【解答】解：f（x）=12sin2x=cos2x函数最小正周期T=故答案为：14已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果【解答】解：已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =0，故 =（ ）（）=（）（）=+=4+00=2，故答案为 215
16、已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=100【考点】等差数列的前n项和；数列递推式；三点共线【分析】因为，且A、B、C共线，所以a1+a200=1，所以=100【解答】解：A、B、C三点共线的充要条件是：对平面内任意一点O，都有因为，且A、B、C共线，所以a1+a200=1，所以=100故答案为：10016观察下列等式：cos2=2cos21；cos4=8cos48cos2+1；cos6=32cos648cos4+18cos21；cos8=128cos8256cos6+160cos432cos2+1；cos10=mcos101280cos8
17、+1120cos6+ncos4+pcos21；可以推测，mn+p=962【考点】类比推理【分析】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等观察等式左边的的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论【解答】解：因为2=21，8=23，32=25，128=27所以m=29=512；每一行倒数第二项正负交替出现，12，24，36，48，510，可推算出p=50，然后根据每行的系数和都为1，可得n=400所以mn+p=962故答案为：962三、解答题（共60分）17在等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式（）若数列an的前k
18、项和Sk=35，求k的值【考点】数列的求和【分析】（）求出数列的公差，即可求数列an的通项公式（）利用等差数列的求和公式，结合数列an的前k项和Sk=35，求k的值【解答】解：（）等差数列an中，a1=1，a3=3，公差d=（31）=2，an=1+（n1）（2）=32n；（）Sk=35，k=718已知函数f（x）=sinx+sin（x+），xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值；（3）若f（）=，求sin 2的值【考点】运用诱导公式化简求值；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域【分析】（1）根据诱导公式可求出函数的解析式，推断f（x）的最小
19、正周期是2（2）依上问f（x）=2sinx，根据正弦函数的性质推断f（x）的最大值是2，最小值是2（3）把代入函数式，两边平方可得答案【解答】解：（1）=函数f（x）=sin x+sin（x+）的最小正周期是2（2）xR，1sinx1（2）=f（x）的最大值为，最小值为（3）f（）=sin+sin（+）=sin+cos=（sin+cos）2=sin2+cos2+2sincos=1+sin2=sin2=1=19已知向量=（1，2），=（2，2）（1）设=4+，求；（2）若+与垂直，求的值；（3）求向量在方向上的投影【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】（1）由已知
20、中向量=（1，2），=（2，2），=4+，可得向量的坐标，代入向量数量积公式可得的值，再代入数乘向量公式，可得答案（2）若+与垂直，则（+）=0垂直，进而可构造关于的方程，解方程可得的值（3）根据向量在方向上的投影为|cos =，代入可得答案【解答】解：（1）向量=（1，2），=（2，2）=4+=（6，6），=2626=0=3分（2）+=（1，2）+（2，2）=（2+1，22），由于+与垂直，2+1+2（22）=0，=（3）设向量与的夹角为，向量在方向上的投影为|cos |cos =20四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的
21、面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积【解答】解：（1）在BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD22BCCDcosC=1312cosC，在ABD中，AB=1，DA=2，A+C=，由余弦定理得：BD2=AB2+AD22AB
22、ADcosA=54cosA=5+4cosC，由得：cosC=，则C=60，BD=；（2）cosC=，cosA=，sinC=sinA=，则S=ABDAsinA+BCCDsinC=12+32=221已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（xR）（）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；（）若f（x0）=，x0，求cos2x0的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】先将原函数化简为y=Asin（x+）+b的形式（1）根据周期等于2除以可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间0，上的最值（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到s
23、in（2x0+）=，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最后由cos2x0=cos（2x0+）可得答案【解答】解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为因为f（x）=2sin（2x+）在区间0，上为增函数，在区间，上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=1，所以函数f（x）在区间0，上的最大值为2，最小值为1（）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0，得2x0+，从而cos（2x
24、0+）=所以cos2x0=cos（2x0+）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=22某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）如
25、图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA22ACOAcosOAC，即：vt2=400+900t21200tcos60=900t2600t+400=再由二次函数法求解最值（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，然后是距离最短，则由（1）可得：OC2=AC2+OA22ACOAcosOAC即：（30t）2=400+900t21200tcos60解得：t=，再解得相应角【解答】解：（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA22ACOAcosOAC即：v2t2=400+900t21200tcos60=900t2600t+400=当t=时，取得最小值，此时，v=30（2）要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，则由（1）可得：OC2=AC2+OA22ACOAcosOAC即：（30t）2=400+900t21200tcos60解得：t=，此时BOD=30此时，在OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇2016年11月3日
