1、第4课时 反证法1用反证法证明，就是从_出发，要求结论否定的情况只有有限多种，然后证明这有限种否定都是不可能的，是与_、_或_相矛盾2凡涉及的不等式为_命题、_命题或是含“_”“_”等字句时，可考虑使用反证法结论的否定 已知条件 已知事实 已证明过的定理否定性 唯一性 至多 至少1用反证法证明“若xy0，则x0或y0”时，应假设()Ax0或y0Bx0且y0Cxy0Dxy0【答案】B【解析】假设结论不成立，则x0且y0(pq的否定是pq)2设 a，b，c 都是正数，则三个数 a1b，b1c，c1a()A都大于 2B至少有一个大于 2C至少有一个不小于 2 D至少有一个不大于 2【答案】C【解析】
2、方法一：取 abc1，则 a1bb1cc1a2，排除 A，B.取 abc2，显然 a1b，b1c，c1a均大于 2，排除D.故选 C方法二：假设 a1b，b1c，c1a均小于 2，则 a1bb1cc1a6.又 a1bb1cc1aa1a b1b c1c2a1a2b1b2c1c6，a1bb1cc1a6.与矛盾，故假设不成立3下列 3 个命题：p1：x0(0，)，使得12 x013 x0；p2：x0(0,1)，使得log12 x0log13 x0；p3：x0，13，都有12xlog12 x，其中真命题的序号是_【答案】p3【解析】p1：若x0(0，)，12 x013 x0，则12 x013 x032
3、x01，从而12 x013 x0，与12 x013 x0 矛盾故 p1 错p2：事实上，对x0(0,1)，log12x0log13 x0，故 p2 错p3：对x0，13，12x1201，而log12xlog13131，x0，13，12xlog12x，故 p3 成立4已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，求证：ab0.【证明】假设 ab0，那么 ab0ab.f(x)是 R 上的增函数，f(a)f(b)同理由 ab0ba，f(b)f(a)得 f(a)f(b)f(a)f(b)，这与已知矛盾，故有 ab0 成立【例1】若三个互不相等的正数a，b，c成等差数列
4、，求证：a，b，c不可能成等比数列【解题探究】利用反证法，由等比数列的性质推出与已知矛盾否定型命题的证明【解析】假设 a，b，c 成等比数列，则 b2aCa，b，c 成等差数列，bac2，ac22ac，(ac)20，ac，与 a，b，c 为三个互不相等的正数相矛盾假设不成立a，b，c 不可能成等比数列当 证 明 的 结 论 中 含 有“不 是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体可依据题设条件导出互相矛盾的结果1(2017年宣城期中)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c三边的倒数成等差数列，求证：B不可能是钝角【证明】假设 B 可能是钝角
5、，则 B 为ABC 的最大角b 为ABC 最大的边，即 ba，bC1b1a，1b1c.相加有1b1b1a1c，即2b1a1c，与 a，b，c 三边的倒数成等差数列相矛盾假设不成立B 不可能是钝角用反证法证明不等式【例 2】已知|a|1，|b|1，求证：ab1ab 1.【解题探究】从已知条件出发，直接证明有困难，不知怎样使用条件，宜用反证法【解析】假设ab1ab 1，则|ab|1ab|，即(ab)2(1ab)2.整理得 1a2b2a2b20，即(1a2)(1b2)0.1a20，1b20或1a20，1b20.解得|a|1 且|b|1，或|a|1 且|b|1，这与已知矛盾故ab1ab 1 成立 直接
6、证明有困难时可考虑用反证法2(2017 年桂林期末)已知 ab0，求证：a b ab.【证明】假设 a b ab，则(a b)2(ab)2，a2 abbab，即 b ab，ba0，与 ab0 相矛盾假设不成立当 ab0 时，a b ab成立“至多”和“至少”型命题的证明【例 3】已知 f(x)x2pxq，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.【解题探究】利用反证法，结合绝对值不等式的性质证明【解析】假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，即|f(1)|12，|f(2)|12，|f(3)|12.则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.而|f(1)
7、|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)|1pq93pq2(42pq)|2，这与相矛盾，从而假设不成立故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.涉及否定词“至少”的命题直接求证有困难，宜用反证法难点是发现f(1)f(3)2f(2)2.3若abc0且abc0，求证：a，b，c三个实数中至多有一个小于0.【证明】假设a，b，c三个实数中至少有两个小于0.不妨令a0，b0，c(ab)0，abc0，与abc0相矛盾 假设不成立 a，b，c三个实数中至多有一个小于0.1反证法证明不等式MN步骤：(1)先否定结论MN，假设MN成立；(2)由题设，或其他性质，或假设等导出矛盾；(3)假设不成立，从而原不等式成立2导出的矛盾可与已知条件相矛盾，可与假设相矛盾，可与定理、公理相违背，或与已知的事实相矛盾等3反证法必须利用结论的否定，否则就不是反证法