1、第 3 课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P70P72，回答下列问题(1)若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？提示：这条直线垂直于平面的任意一条直线；这两条直线平行(2)教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示：不一定，也可能平行，相交(不垂直)；只要保证所画的线与两面的交线垂直即可2归纳总结，核心必记(1)直线与平面垂直的性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线图形语言：符号语言：ab ab.平行作用：()线面垂直线线
2、平行；()作平行线(2)平面和平面垂直的性质定理文字语言：两个平面垂直，则垂直于的直线与另一个平面图形语言：一个平面内垂直交线符号语言：laala.作用：()面面垂直垂直；()作面的垂线线面问题思考(1)同一个平面的两条垂线一定共面吗？提示：共面由线面垂直的性质定理可知该两条直线是平行的，故能确定一个平面(2)如果，那么平面 内的直线都和平面 垂直吗？提示：如果，那么平面 内的直线不一定与平面 垂直课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)直线与平面垂直的性质定理是什么？怎样应用？；(2)平面与平面垂直的性质定理是什么？怎样应用？如图是日常生活中常见的旗杆，这排旗杆都与地面垂直思考 1
3、两根旗杆所在直线是什么位置关系？提示：平行思考 2 怎样理解直线与平面垂直的性质定理？名师指津：(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据(4)定理的推证过程采用了反证法思考 3 直线与平面垂直有哪些性质？名师指津：(1)lb lb；(2)ab ab;(3)aba b；(4)a a；(5)aa.讲一讲1 如 图 所 示，在 正 方 体ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N是 A1
4、C 的中点，MN平面 A1DC.求证：MNAD1.尝试解答 ADD1A1 为正方形，AD1A1D.又CD平面 ADD1A1.CDAD1.A1DCDD，AD1平面 A1DC.又MN平面 A1DC，MNAD1.证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行练一练1如图，已知平面 平面 l，EA，垂足为 A，EB，垂足为 B，直线 a，aAB.求证：a
5、l.证明：因为 EA，l，即 l，所以 lEA.同理 lEB.又 EAEBE，所以 l平面 EAB.因为 EB，a，所以 EBa，又 aAB，EBABB，所以 a平面 EAB.由线面垂直的性质定理，得 al.思考 怎样理解面面垂直的性质定理？名师指津：(1)定理成立的条件有三个：两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直讲一讲2如图，已知 PA平面 ABC，平面PAB平面 PBC，求证：BC平面 PAB.尝试解答 过点 A 作 AEPB，垂足为 E
6、，因为平面 PAB平面 PBC，平面 PAB平面 PBCPB，所以 AE平面 PBC，因为 BC平面 PBC，所以 AEBC，因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 PABC，因为 PAAEA，所以 BC平面 PAB.应用面面垂直性质定理要注意的问题应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线，即过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直练一练2如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，ABCD 是DAB60且边长为 a 的菱形侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG平面
7、 PAD；(2)求证：ADPB.证明：(1)连接 PG，由题知PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点，PGAD.又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面ABCDAD，PG平面 ABCD.PGBG.又四边形 ABCD 是菱形且DAB60，ABD 是正三角形BGAD.又 ADPGG，BG平面 PAD.(2)由(1)可知 BGAD，PGAD.又 BGPGG，AD平面 PBG.ADPB.讲一讲3如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面 ABCD是边长为 2 的菱形，BAD60，N 是 PB 的中点，过 A，D，N 三点的平面交 PC 于 M，E
8、为AD 的中点求证：(1)EN平面 PDC；(2)BC平面 PEB；(3)平面 PBC平面 ADMN.思路点拨(1)证明 ENDM；(2)由 ADBC 可证 AD平面 PEB；(3)利用(2)可证 PB平面 ADMN.尝试解答(1)ADBC，BC平面 PBC，AD平面 PBC，AD平面 PBC.又平面 ADMN平面 PBCMN，ADMN.又BCAD，MNBC.又N 是 PB 的中点，点 M 为 PC 的中点MNBC 且 MN12BC，又E 为 AD 的中点，MNDE，且 MNDE.四边形 DENM 为平行四边形ENDM，且 DM平面 PDC.EN平面 PDC.(2)四边形 ABCD 是边长为
9、2 的菱形，且BAD60，BEAD.又侧面 PAD 是正三角形，且 E 为中点，PEAD，BEPEE，AD平面 PBE.又ADBC，BC平面 PEB.(3)由(2)知 AD平面 PBE，又 PB平面 PBE，ADPB.又PAAB，N 为 PB 的中点，ANPB.且 ANADA，PB平面 ADMN.又PB平面 PBC.平面 PBC平面 ADMN.垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：练一练3如图，平面 PAB平面 ABC，平面 PAC平面 ABC，AE平面 PBC，E 为垂足(
10、1)求证：PA平面 ABC；(2)当 E 为PBC 的垂心时，求证：ABC是直角三角形证明：(1)在平面 ABC 内任取一点 D，作 DFAC 于点 F，作 DGAB 于点 G.平面 PAC平面 ABC，且交线为 AC，DF平面 PAC.PA平面 PAC，DFPA.同理可证，DGPA.DGDFD，PA平面 ABC.(2)连接 BE 并延长交 PC 于点 H.E 是PBC 的垂心，PCBH.又AE 是平面 PBC 的垂线，PCAE.BHAEE，PC平面 ABE，PCAB.又PA平面 ABC，PAAB.PAPCP，AB平面 PAC.ABAC，即ABC 是直角三角形课堂归纳感悟提升1本节课的重点是理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，能应用直线与平面、平面与平面的性质定理证明空间中线面垂直关系难点是理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系2本节课要重点掌握的规律方法(1)利用线面垂直的性质证明平行问题，见讲 1.(2)应用面面垂直的性质证明垂直问题，见讲 2.(3)掌握垂直关系的转化，见讲 3.3本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误，如讲 3.