1、高考资源网（） 您身边的高考专家5.1.2数列中的递推课后篇巩固提升必备知识基础练1.数列1,3,6,10,15,的递推公式是()A.a1=1,an+1=an+n,nN+B.a1=1,an=an-1+n,nN+,n2C.a1=1,an+1=an+(n+1),nN+,n2D.a1=1,an=an-1+(n-1),nN+,n2答案B解析由题可知a1=1,an-an-1=n(n2).2.已知数列an中的首项a1=1,且满足an+1=an+,此数列的第3项是()A.1B.C.D.答案C解析a1=1,a2=a1+=1,a3=a2+.3.已知数列an中,a1=1,an+1=2an+1,则数列an的一个通项
2、公式为()A.an=nB.an=n+1C.an=2nD.an=2n-1答案D解析由题可知a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,经验证,选D.4.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=4n2-10n,则a2a6=()A.52B.68C.96D.108答案B解析当n2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-4(n-1)2-10(n-1)=8n-14,所以a2a6=(82-14)(86-14)=68.故选B.5.数列an满足an=4an-1+3(n2),且a1=0,则此数列的第5项是.答案255解析因为an=4an-1+3(n2),a1=0,所以a2=40+3=3,a3=43+3=15,a4=
3、415+3=63,a5=463+3=255.6.已知数列an满足an+2+an=an+1(nN*),且a1=1,a2=2,则a2 021=.答案-2解析因为an+2+an=an+1(nN*),所以an+2=an+1-an.因为a1=1,a2=2,所以a3=a2-a1=2-1=1,a4=a3-a2=1-2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2,a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6-a5=-1-(-2)=1,a8=a7-a6=1-(-1)=2,所以数列an是周期为6的数列,所以a2 021=a3366+5=a5=-2.7.(2020四川树德中学高一期中)已知Sn是数列an的前n项和
4、,若an=sin,则S2 020的值为.答案解析T=6,且a1=,a2=,a3=0,a4=-,a5=-,a6=0,a7=,所以数列an的周期为6,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,又2 020=6336+4,S2 020=(a1+a2+a3+a4)+3360=.8.已知数列an中,a1=1,an+1=,求通项an.解将an+1=两边同时取倒数,得,则,即,把以上这(n-1)个式子累加,得.a1=1,an=.9.已知数列an的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,并判断60是此数列的第几项.(2)当n为何值时,an=0,an0,an0,解得n6或n6(nN+)时,an0.
5、令n2-n-300,解得0n6,当0n6(nN+)时,an0.(3)Sn存在最小值,不存在最大值.由an=n2-n-30=n-2-,知an是递增数列,且a1a2a5a6=0a7a8a91,则数列an为递增数列B.若数列an为递增数列,则a1C.存在实数a,使数列an为常数数列D.存在实数a,使|an+1|2恒成立答案B解析对于A选项,若a1,则an+1-an=+an-2=an+2-1+2-=0,an+1an,即数列an为递增数列,则A正确;对于B选项,若数列an为递增数列,则an+1-an=+an-2=an+2-0,an+-,或an+,即an1,a1,则B错;对于C选项,要使数列an为常数数列
6、,则an+1-an=+an-2=(an-1)(an+2)=0,an=1,或an=-2,即存在实数a=1或a=-2,使数列an为常数数列,则C正确;对于D选项,由C选项可得,当a=1时,数列an为常数数列,即|an+1|=|1+1|=2,则存在实数a=1,使|an+1|2恒成立,则D正确.12.已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=-2,an+1=1-,nN+,则()A.a40a100C.S40S100答案D解析a2=1-,a3=1-,a4=1-=-2,a5=1-,所以数列an是以3为周期的周期数列,前三项和S3=-,a40=a1=-2,a100=a1=-2,所以a40=a100,S40=1
7、3S3+a40=-,S100=33S3+a100=-,所以S40S100.故选D.13.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且对任意的nN+,都有则S61=.答案5解析a2n+a2n+1=log2+log2=log2,S61=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a60+a61)=1+log2+log2+log2=1+log2=1+log216=5.14.(2020陕西西安高三二模)数列an满足a1+2a2+3a3+nan=2n-1(nN+),则an=.若存在nN+使得an成立,则实数的最小值为.答案an=解析当n2时,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1+nan=2n-1,a1+2
8、a2+3a3+(n-1)an-1=2n-1-1,两式相减得nan=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,所以an=(n2).当n=1时,a1=1满足上式,综上所述,an=.存在nN+使得an成立的充要条件为存在nN+使得,设bn=,所以1,即bn+1bn,所以bn单调递增,bn的最小项b1=,即有b1=,的最小值为.15.(2020广州高三月考)已知数列an满足:a1=2,an+an-1=4n-2(n2).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b1+3b2+7b3+(2n-1)bn=an,求数列bn的通项公式.解(1)an+an-1=4n-2(n2)可化为(an-2n)+(an-
9、1-2n+2)=0.令cn=an-2n,则当n2时,cn+cn-1=0,即cn=-cn-1.因为a1=2,所以c1=a1-2=0,所以cn=0,即an-2n=0,故an=2n.(2)由b1+3b2+7b3+(2n-1)bn=an,可知b1+3b2+7b3+(2n-1-1)bn-1=an-1(n2),两式作差得(2n-1)bn=an-an-1=2(n2),即bn=(n2).又当n=1时,b1=a1=2也满足上式,故bn=.学科素养拔高练16.(2020江西师大附中高三一模)已知数列an中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=3n-,若数列bn为递增数列,求实数的取值范围.解(1)2Sn=(n+1)an,2Sn+1=(n+2)an+1,2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,即nan+1=(n+1)an,=1,an=n(nN+).(2)由(1)知bn=3n-n2.bn+1-bn=3n+1-(n+1)2-(3n-n2)=23n-(2n+1).数列bn为递增数列,23n-(2n+1)0,即为递增数列,c1=2,即的取值范围为(-,2).- 4 - 版权所有高考资源网