1、学业分层测评(三)距离和高度问题(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图127，测得下面四组数据，较合理的是()图127Ac与Bc与bCb，c与Db，与【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，与.【答案】D2轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是()A50 n mile B70 n mileC90 n mile D.110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n
2、mile，由余弦定理得两船之间的距离为l70 (n mile)【答案】B3如图128，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得ACB60，BCD45，ADB60，ADC30，AD20(1)，则A，B间距离是()图128A20米 B20米C20米 D.40米【解析】可得DBDC40，AD20(1)，ADB60，所以在ADB中，由余弦定理得AB20(米)【答案】C4在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A20 m B30 m C40 m D.60 m【解析】如图，设
3、O为顶端在地面的射影，在RtBOD中，ODB30，OB20，BD40，OD20，在RtAOD中，OAODtan 6060，ABOAOB40(m)【答案】C5如图129所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，则建筑物的高度为()图129A15 m B.20 mC25 m D.30 m【解析】设建筑物的高度为h，由题图知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cosPBA，cosPBC.PBAPBC180，cosPBAcosPBC0.由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.【答案】D二、填空题6有
4、一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75，现要将其倾斜角改为30，则坡底要伸长_千米【解析】如图，BAO75，C30，AB1，ABCBAOBCA753045.在ABC中，AC(千米)【答案】7如图1210，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度是_m.图1210【解析】tan 30，tan 75，又ADDB120，ADtan 30(120AD)tan 75，AD60，故CD60.【答案】608一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动
5、，如图1211所示，已知AB4 dm，AD17 dm，BAC45，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点_dm的C处截住足球. 【导学号：33300015】图1211【解析】设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BCx dm，由题意知CD2x dm，ACADCD(172x)dm.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A，即x2(4)2(172x)28(172x)cos 45，解得x15，x2.AC172x7(dm)，或AC(dm)(舍去)该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球【答案】7三、解答题9A，B，C，D四个景点，如
6、图1212，CDB45，BCD75，ADC15.A，D相距2 km，C，D相距(3)km，求A，B两景点的距离图1212【解】在BCD中，CBD180BCDCDB60，由正弦定理得，即BD2.在ABD中，ADB451560，BDAD，ABD为等边三角形，AB2.答：A，B两景点的距离为2 km.10江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，求两条船之间的距离. 【导学号：33300016】【解】如图所示，CBD30，ADB30，ACB45.AB30(m)，BC30(m)，在RtABD中，BD30(m)在BCD中，CD2BC2B
7、D22BCBDcos 30900，CD30(m)，即两船相距30 m.能力提升1某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()Ad1d2 Bd1d2Cd1d2 D.不能确定大小【解析】如图，B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知.在PBC中，在PCD中，sin sin ，sinPCBsinPCD，.PBPD，d1d2.【答案】C2如图1213，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精
8、确到0.1 m, 1.732)()图1213A2.7 m B17.3 mC37.3 m D.373 m【解析】在ACE中，tan 30.AE(m)在AED中，tan 45，AE(m)，CM10(2)37.3(m)【答案】C3.如图1214所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角ABC120；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角ADC150；从D处再攀登300米到达C处则石竹山这条索道AC长为_米图1214【解析】在ABD中，BD200米，ABD120.因为ADB30，所以DAB30.由正弦定理，得，所以.所以A
9、D200(米)在ADC中，DC300米，ADC150，所以AC2AD2DC22ADDCcosADC(200)230022200300cos 150390 000，所以AC100(米)故石竹山这条索道AC长为100米【答案】10042015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图1215)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤图1215【解】方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N的俯角2，2；A，B间的距离d.第一步：计算AM.由正弦定理AM；第二步：计算AN.由正弦定理AN；第三步：计算MN.由余弦定理MN.方案二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的俯角2，2；A，B间的距离d.第一步：计算BM.由正弦定理BM；第二步：计算BN.由正弦定理BN；第三步：计算MN.由余弦定理MN.
