1、3.1.2用二分法求方程的近似解（教学设计）教学目标：知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一教学重点：重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解一、复习回础，新课引入：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需
2、要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题二、师生互动，新课讲解：1、二分法：上节（P88例1）课我们
3、已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值下面介绍一种求近似解的方法我们知道，函数的图象与直角坐标系中轴交点的横坐标就是方程的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解（1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；（2）用计算器计算，因为，所以零点在区间内；（3）再取区间中点2.75，用计算器计算，因为，所以零点在区间内（4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都
4、可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）当精确度为0.01时，由于，所以，我们可将作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：1）确定区间，验证，给定精确度；2）求区间的中点；3）计算；4）判断：（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）5）判断：区间长度是否达到精
5、确度？即若，则得到零点近似值；否则重复25说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算例1（课本P90例2）借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）小结：1） 结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点2） 函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点3） 用二分法求函数的变号零点二分法的条件表明用二分法求函数的近似
6、零点都是指变号零点变式训练1：求方程x22x1的一个近似解(精确度0.1)解设f(x)x22x1.f(2)10，在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，f(2.5)0.250，2x02.5；再取2与2.5的平均数2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5；再取2.25与2.5的平均数为2.375，f(2.375)0.109 40，2.375x00.|2.3752.437 5|0.062 50时，f(x)0，当x0，f(x)|x|的函数值非负，即函数f(x)|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点2若函数yf(x)在R上递增，则
7、函数yf(x)的零点(B)A至少有一个 B至多有一个 C有且只有一个 D可能有无数个3(2011新课标全国)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B. C. D.解析因为fe43e20，fe43e10，所以f(x)ex4x3的零点所在的区间为.答案C4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 。（答案：1.437 5）5若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分()A5次 B6次 C7次 D8次解析：设对区间
8、(1,2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，第n次二等分后区间长为.依题意得log2100.由于6log21000，f(4)0.50，根据零点的存在性定理知选C.7方程在区间上的根必定属于区间（ B ）ABCD8函数的零点所在的大致区间是（ C ）A（3，4） B（2，e） C（1，2） D（0，1）9已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_解析函数f(x)x2xa在(0,1)上递增由已知条件f(0)f(1)0，即a(a2)0，解得2a0.答案(2,0)B组：1(2010福建)函数f(x)的零点个数为()（提示：作图）A3 B2 C7 D0分析：函数零点的个数f(x)0解的个数函数图象与x轴交点的个数解析法一由f(x)0得或解得x3，或xe2.因此函数f(x)共有两个零点