1、第1课时 二维形式的柯西不等式1定理1：(二维形式的柯西不等式)设a，b，c，d均为实数，则：(a2b2)(c2d2)_，其中等号当且仅当_时成立(acbd)2 adbc推论：a2b2 c2d2|acbd|(当且仅当_时，等号成立)(ab)(cd)_(a，b，c，dR)(当且仅当_时，等号成立)a2b2 c2d2|ac|bd|(当且仅当_时，等号成立)adbc(ac bd)2 adbc|ad|bc|2定理 2：(柯西不等式的向量形式)设，为平面上的两个 向 量，则|_，当 且 仅 当 _ 或_时，等号成立3定理 3：(二维形式的三角形不等式)设 x1，y1，x2，y2为任意实数，则x21y21
2、 x22y22_.推论：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3 为任意实数，则x1x22y1y22x2x32y2y32_.|是零向量存在实数k，使kx1x22y1y22x1x32y1y321已知 3xy10，则 x2y2 的最小值为()A 110B10 C1D100【答案】B【解析】由(x2y2)(3212)(3xy)2100(当且仅当 x3y 时等号成立)，得 x2y210010 10.2已知 3x22y21，则 3x2y 的取值范围是()A0，5B 5，0C 5，5D5,5【答案】C【解析】由|3x2y|3x2 2y2 32 22，得|3x2y|53x22y2 5.3函数 y x52 6x
3、的最大值是_【答案】5【解析】由 y2(x52 6x)2(1222)(x5)2(6x)2得 y 5.当且仅当 6x2 x5即 x265 时等号成立4已知：a2b21，m2n22，证明：2ambn 2.【解析】方法一：因为|ambn|a2b2 m2n2 2，所以 2ambn 2.方法二：构造向量，令(a，b)，(m，n)，由|，得|ambn|a2b2 m2n2 2.所以 2ambn 2.(当且仅当 anbm 时取等号)【例1】证明：(x2y4)(a4b2)(a2xby2)2.【解题探究】虽然可以作乘法展开上式的两边，然后再进行比较，但是如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的一致性，就可简化计算
4、【解析】根据柯西不等式，有(x2y4)(a4b2)(xa2y2b)2(a2xby2)2.(当且仅当xby2a2时取等号)利用柯西不等式证明不等式联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算所以，经典不等式是数学研究的有力工具1已知 a，b，c 为正数且满足 acos2bsin2c，求证：acos2 bsin2 c.【证 明】acos2 bsin2 (acos2 bsin2)(cos2 sin2)(acos2 bsin2)2，(acos2 bsin2)2C acos2 bsin2 c.利用柯西不等式求最值【例 2】求函数 y5 x1 102x的最大值【解题探究】利用不等式解决最值问题，通常
5、设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件这个函数的解析式是两部分的和，若能化为 acbd 的形式就能用柯西不等式求其最大值(|acbd|a2b2 c2d2)【解析】函数的定义域为1,5且 y0，y5 x1 2 5x 52 22 x12 5x26 3.当且仅当 2 x15 5x时，等号成立，即 x12727时，函数取最大值 6 3.(1)本例应用了柯西不等式的变形形式，困难在于弄清对应于柯西不等式中a，b，c，d的是哪4个数(2)解此类问题时，应先求出函数的定义域2求函数 f(x)2x4 5x的最大值【解析】函数 f(x)2x4 5x 2 x21 5x 2212 x22 5x23
6、.当且仅当 x2 2 5x时，等号成立，即 x4 时，函数取得最大值 3.构造柯西不等式求最值【例 3】已知 x0，y0，a0,b0 且axby1，求 xy的最小值【解题探究】注意到 xy(xy)axby，有了(xy)axby 就可以用柯西不等式了【解析】x0，y0，a0,b0，axby1，xy(x)2(y)2ax2by2(a b)2.当且仅当 xby yax，即xyab时取等号(xy)min(a b)2.巧用条件axby1，构造与柯西不等式一致的形式，应用柯西不等式的另一个变形形式(ac)(bd)(ac bd)2(a0,b0,c0，d0)，需要注意的是条件 a0,b0,，否则不能用柯西不等式当然，本例若将(xy)axby 拆开，由基本不等式也可得证3已知|x2y|5，证明：x2y25.【证明】由柯西不等式有(x2y2)12(2)2(x2y)2，即5(x2y2)|x2y|2.|x2y|5，5(x2y2)25，即x2y25.1柯西不等式主要用于证明不等式和求最值，常用到推论1和推论2，要注意公式应用的前提条件和等号成立的条件2在柯西不等式的应用过程中，常常需要对式子的结构进行适当的拼凑或变形，构造与柯西不等式一致的形式，弄清问题中的哪些数对应于柯西不等式中的a，b，c，d很重要3有些问题既可用柯西不等式，也可用基本不等式来解决，需要分清两种不等式的结构特点