1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质(1)在现实世界与日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，两者都是基本的数量关系.7.12:常量与常量50:v变量与常量0),()(:xxgxf函数与函数20036:yx变量与变量在数学中，我们用不等式来表示不等关系.文字语言 数学符号 文字语言 大于 大于，高于，超过 小于 小于，低于，少于 大于或等于 至少，不少于，不低于 小于或等于 至多,不多于,不超过:,的区别与baxbxa2,1mmx1,21mmm得1,21,mmmA得时21|mxmxA1,21,mmmA得时实际问题蕴含的不等关系 列不等式 解不等式 抽象 不等
2、式的性质 关于实数大小的基本事实：000babababababa比较实数大小作差 与0比较1.作差法比较大小.)4)(1()3)(2(1的大小与比较例xxxx)4)(1()3)(2(:xxxx解)45()65(22xxxx20).4)(1()3)(2(xxxx.11,0,的大小与比较满足若实数变式yxxyyxyx,11:xyxyyx解,0,0,xyxyyx又,0 xyxy2.赵爽弦图的不等关系 第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的.abc中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方
3、法，给出了勾股定理的证明。22)(214cbaab222cba即大正方形的构成：4个全等的直角三角形 1个小正方形 不等关系 ba 等面积法 相等关系 2.赵爽弦图中的不等关系 abab)(222baabba)(222baabbaQ：对于任意的实数a,b，a2+b22ab成立吗？试证明。22ba(面积关系)a,b0大正方形面积4个直角三角形的面积和大正方形面积=4个等腰直角三角形的面积和3.重要不等式.0)(2,:222baabbaRba证明,222abba.时等号成立当且仅当ba.时等号成立当且仅当ba 作差法).(2,22时等号成立当且仅当baabbaRba).(2:22时等号成立当且仅当
4、变形babaab._4,0222xxx则练习4时等号成立即当且仅当2,2xxxbaabbabaabba,2,22222._,4122的最大值是则若练习abba2时等号成立仅当2 ba4.等式性质与不等式性质 等式性质不等式性质abbacbba,ba bcac 0,cbaca cbcaba cbca ba ab cbba,ca ba cbca0,cba bcac 0,cbabcac.,)1(22babcac则若.,0)2(22bababa则若.,0)5(bcbacabac则若.11,0)3(baba则若.,0,02bacc.,0,2abaaba.,0,2babbba.0,0abba.11,1)(
5、1)(ababbaba即0 ba011bcac0acbc.|,0)4(baba则若用不等式的性质证明不等式 归纳：比较大小的方法 特殊值法.11,0:1baba则若判断正误例.11,211,311,2,3原题错误则令bababa可用于判断不等式不成立，不能用于证明不等式成立.性质法.11.0,0bababa由可乘性得作差法：作差并与0比较 作商法：作商并与1比较 课内作业：P35的6(3)、7(1)(3)P42习题2.1的第3(1)(4)第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质(2)回顾 1.比较大小：作差法(与0比较)babababa002.重要不等式：).(2,22时
6、等号成立当且仅当baabbaRba可用于求最值.22_1,1:123xxxx则已知比较大小练习.222_2:222yxyyx比较大小练习)1)(1()22(1:223xxxxxx析画图(对/开)配方1)1()()222(2:2222yyxyxyyx析).(2:22时等号成立仅当变形babaab作差变形(化为因式的积或平方和)与0比较 1.对称性2.传递性3.可加性5.同向可加性4.可乘性6.同向可乘性(同号)7.正数乘方性8.正数开方性abbacacbba,cacbba_,cbcabadbcadcba,bcaccba0bcaccba0bdacdcba0,0)1(0nbabann)2(0nbab
7、ann3.不等式性质 若x2,y3,则2x+y7.证 3.不等式性质同向可加性 dbcadcba,:同向可加性;,:cbcaba证明;,dbcbdc.dbcaQ：两个不等式能够同向相减吗?).(,:dbcadcba则若判断正误32，1-2，但313.不等式性质同向可加性._,112的取值范围是则已知例baba,11,11,11:baba解.ba,11b),(baba,22ba,0,baba又.02ba02ba._,21的取值范围是则若变式baba,21,21:baba且解,12b,2)(3ba,0,baba又.03ba03ba关键：减化加3a+2b3.不等式性质同向可乘性(同号)bdacdcb
8、a00:同向可乘性(不等式不可同向相除).,3615,60123的范围求若例baba.431,156013612baba即,1511361,6012,1:bababa由题意得解 关键：除化乘3.不等式性质同向可加性.24,42214的取值范围求且已知例bababa),()(24:baybaxba设解,)()(24bxyayxba即,24xyyx,13 yx,42,6)(33baba.10245ba得由方法：待求的整体用已知的整体表示，仅用1次同向可加性),()(324bababa3.不等式性质同向可加性.24,42214的取值范围求且已知例bababa),()(24:baybaxba设解,)(
9、)(24bxyayxba即,24xyyx,13 yx,426)(33baba.10245ba得由方法：待求的整体用已知的整体表示),()(324bababa3.不等式性质同向可加性.24,42214的取值范围求且已知例bababa,623a得,4221:解baba.12243ba得由得24ba得由023b,1246a错因：当4a取得最小时，-2b不同时取得最小.3.不等式性质同向可加性.24,42214的取值范围求且已知例bababa),(2224:baaba解得623a,4)(22又ba,4221baba.10)(225baa得.10245ba即3.不等式“同向可加性”的运用.24,4221
10、4的取值范围求且已知例bababa,6)(424:bbaba解,21又ba.166)(421bbaa得.16241ba即由题意得2)(4ba,023b得由,06916)(48bba错因：当4(a+b)取得最小时，-6b不取得最小(即b不取得最大).课内作业：.,3121.1的取值范围求已知baba.32|,2132.2的取值范围和求且已知baaba.3,32111,.3的取值范围求且满足已知实数课后练习.2,012的大小与试比较且若练习abbabaa)2(2abbaaba2)(,01,0)(,02ababaa又abba22)2(122babaa,0)(12 baa.22abba(作差法)课后练习.2,012的大小与试比较且若练习abbabaaaabb22 222abab 222abab 22222)()2(2baabbaabab2222,0)(,ababbaba又;1222abab.122aabb即,0a.22aabba得同乘(作商法)课后练习.9,21321,212212的范围求若练习yxyxyx)3()2(9yxbyxayx令ybaxba)()32(.6,71932bababa得由.3)3(63,27)2(727yxyx.213,213)3(6)2(79yxyxyxFighting