1、1.1.7柱、锥、台和球的体积1若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为()A.134B.132C.124D.142解析：设球的半径为R,则V圆锥=13R2(2R)=23R3,V圆柱=R22R=2R3,V球=43R3.所以V锥V柱V球=23243=132.答案：B2正方体的内切球的体积为36,则此正方体的表面积是()A.216B.72C.108D.648解析：设内切球半径为R,则43R3=36,解得R=3.于是正方体棱长为6,表面积为662=216.答案：A3在三棱台ABC-A1B1C1中,ABA1B1=12,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A
2、1B1C1的体积之比为()A.111B.112C.124D.144解析：由棱锥的体积公式即可推知选项C正确.答案：C4一空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()A.2+23B.4+23C.2+233D.4+233解析：该空间几何体为正四棱锥和圆柱的组合体.如图.由题意知,圆柱的底面半径为1,高为2.正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为2,高为22-12=3.所以V=122+13(2)23=2+233.答案：C5如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.9C.12D.18解析：由三视图可推知,几何体的直观图如图,可知AB=6,CD=3,PC
3、=3,CD垂直平分AB,且PC平面ACB,故所求几何体的体积为1312633=9.答案：B6如图,在三棱锥A-BCD中,VA-BPQ=2,VC-APQ=6,VC-DPQ=12,则VA-BCD等于()A.20B.24C.28D.56解析：由VA-BPQVC-APQ=VB-APQVC-APQ=26=13,所以VB-PDQVC-PDQ=13.所以VB-PDQ=13VC-PDQ=4,因而VA-BCD=2+6+12+4=24.答案：B7已知某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()A.83B.3C.103D.6解析：将三视图还原为实物图求体积.由三视图可知,此几何体(如图)是底面半径为1,高为4的圆柱
4、被从母线的中点处截去了圆柱的14,所以V=34124=3.答案：B8如图,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位:cm),则该三棱锥的外接球的体积等于.解析：该三棱锥可以看作是一个长、宽、高分别等于1 cm,2 cm,3 cm的长方体的一部分,其外接球就是长方体的外接球.长方体的体对角线长为12+22+32=14(cm),此即为外接球的直径2R,于是外接球体积V=431423=7143(cm3).答案：7143 cm39某圆台的体积为52,上、下底面面积之比为19,则截得该圆台的圆锥的体积为.解析：设圆台的上、下底面半径分别为r,R,则rR=13.设圆锥的高为h,圆台的高为h,则h-hh=1
5、3,所以h=23h.而V台=13h(r2+Rr+R2)=52,所以3h19R2+13R2+R2=52.所以323h139R2=52.所以R2h=528126=162.所以V锥=13R2h=13162=54.答案：5410圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是.解析：设球的半径为r cm,则由3V球+V水=V柱,得6rr2=8r2+343r3,解得r=4.答案：4 cm11正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,FA为折痕,折叠这个正方形,使B,C,
6、D重合于一点P,得到一个三棱锥如图,求此三棱锥的体积.解因为D=C=B=90,所以翻折后APE=EPF=APF=90.所以RtPEF可以看作是三棱锥的底面,而AP可以看作是三棱锥的高.比较发现:AP=1,PEPF,PE=PF=12,故VA-PEF=13SPEFAP=131212121=124.12直角梯形的一个内角为45,下底长为上底长的32,此梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的旋转体的表面积为(5+2),求此旋转体的体积.解画出旋转体的轴截面如图,设BC=a,则DC=2a,AE=a,ED=2a,AC=3a.S表=a2+2a2a+a2a=(5+2),得a=1,故V=a22a+13aa2=73a3=73.