1、第5课时 放缩法1放缩法：在证明不等式的过程中，有时利用不等式的_，通过对不等式的某些部分作适当的_，达到证明的目的2 放 缩 法 的 实 质 是 _，放 缩 没 有_，需按题意适当放缩，否则达不到目的传递性 放大或缩小非等价转化 一定的准则和程序1lg 9lg 11与1的大小关系是()Alg 9lg 111Blg 9lg 111Clg 9lg 111D不能确定【答案】B【解析】lg 9lg 11lg 9lg 1122lg 9922lg 100221，故选 B.2设 x0，y0，A xy1xy，B x1x y1y，则 A，B 的大小关系是()AABBABCABD不能确定【答案】C【解析】因为
2、x0，y0，所以 A xy1xyx1xyy1xy x1x y1yB，故选 C3设 A121011210212103 1211，则 A 与 1 的大小关系是_【答案】A1【解析】A1210112102121031210210 12101210 1210 1210 12102101.4已知 an 12 23 34 nn1(nN*)，求证：nn12ann122.【证明】n nn12n12，123nan3572n12.nn12ann32n122nn22n122.故nn12ann122.数列不等式的放缩【例 1】证明：12 1n1 122 132 142 1n2n1n(n2,3,4，)【解题探究】要证不
3、等式的中间是与数列有关的和的结构，无法直接求和，可从通项结构特征考虑先放缩，再求和【解析】当 n1 时，1n21nn11n 1n1.所以 122 132 142 1n2 123134145 1nn11213 1314 1415 1n 1n1 12 1n1.当 n1 时，1n21nn1 1n11n，所以 122 132 142 1n2 112123134 1n1n 112 1213 1314 1n11n 11nn1n.所以12 1n1 122 132 142 1n2n1n.此类问题通常有两类：一类是先求和，后放缩；另一类是先放缩，后求和从而达到证明的目的1已知 an 12n1，b1a1，bnTn
4、1n 112131nan(n2)，Tn，Sn 分别是数列an和bn的前 n 项和，证明：Sn22ln n.【证明】根据题意得 an 12n1，Tn221n，则 bnTn1n 112131n ana1a2an1n112131n an，Sn112 a111213 a2112131n an112131n a1112131n a2112131n an112131nTn112131n(221n)2112131n.令 f(x)ln x1x1，x1，则 f(x)1x1x2x1x2 0，即 f(x)在(1，)上为增函数f(1)0，f(x)0.k2 且 kN*时，kk11，fkk1 ln kk1k1k 10，即
5、 ln kk11k.12131nln21ln32ln nn1ln n，2112131n 2212131n 22ln n，即 Sn22ln n.含根式不等式的放缩【例 2】已知实数 x，y，z 不全为零，求证：x2xyy2 y2yzz2 z2zxx232(xyz)【解题探究】欲证不等式左端是三个根式的和，而右端是有理式，若两边平方则十分复杂，可考虑对根号内的式子进行配方后再用放缩法【解析】x2xyy2xy2234y2xy22xy2 xy2.同理可得 y2yzz2yz2，z2zxx2zx2.由于 x，y，z 不全为零，故三式中至少有一式取不到等号，三式相加得x2xyy2y2yzz2z2zxx2xy
6、2 yz2zx2 32(xyz)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证ab，可换成证ac，且cb，同时注意放缩要适当2已知 an 12 23 34 nn1(nN*)，求证：nn12annn22.【证明】nn1 n2n，nn1n.an12 23 nn1123nnn12.nn1nn12，an122 232 nn1212(23n)n12 nn22.综上得nn12annn22.含分式不等式的缩放【例 3】已知 a，b，c 为三角形的三边，求证：c1c a1a b1b.【解题探究】分式型可用比较法，也可利用结论：当 ab0，m0 时，babmam.【解析】设 f(x)x1x，x(0，)，
7、显然 f(x)11x20，所以 f(x)在(0，)是增函数因为 a，b，c 为三角形的三边，所以 cab.所以 f(c)f(ab)，即 c1c ab1aba1abb1ab a1a b1b.所以 c1c a1a b1b.分式型放缩可改变分子或分母，或分子、分母同时改变，达到放缩的目的3求证：1 12 2 13 3 1n n3(nN*)【证明】1k31k2k1k214 k24k21k 2k1 2k1k12k112k1，其中2k1 2k1k24k2 4k21k4k4kk8，2k1 2k1k2 2，即 1k32 212k112k1，112 213 31n n221 13 13 15 12n112n12 2112n1 2 23.不等式 1 12 2 13 3 1n n3(nN*)得证1放缩法的具体措施：(1)舍掉式中的一些正项或负项(2)将和式中各项或某项换以较大或较小的数(3)在分式中放大或缩小分子、分母，或分子分母同时放大或缩小(4)利用基本不等式放缩2常见的放缩技巧：(1)1kk11k21kk1(k1，kN)(2)1k k1 12 k1k k1(k1，kN)(3)若 ab0，m0，则babmam.(4)|sin(x)|1(xR)
