1、6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 第六章 平面向量及其应用 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握余弦定理及其推论(重点)2掌握余弦定理的综合应用(难点)3能应用余弦定理判断三角形的形状(易错点)1借助余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养 2通过余弦定理的应用，培养数学运算素养 情境导学探新知 NO.1 如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB 3 km，AC1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角BAC150问题：根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？知识点1 余弦定
2、理 文字表述三角形中任何一边的平方，等于_减去这两边与它们的两倍 符号语言a2_；b2_；c2_ 其他两边平方的和夹角的余弦的积b2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C推论cos A；cos B；cos C b2c2a22bca2c2b22aca2b2c22ab在ABC中，若a2b2c2，则ABC是锐角三角形吗？提示 不一定因为ABC中a不一定是最大边，所以ABC不一定是锐角三角形 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例()(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况()(3)在ABC中，若b
3、2c2a2，则A为锐角()(4)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)知识点2 解三角形(1)一般地，三角形的 和它们的 叫做三角形的元素(2)已知三角形的几个元素求的过程叫做解三角形 三个角A，B，C对边a，b，c其他元素2在ABC中，已知a9，b2 3，C150，则c等于()A 39 B8 3 C10 2 D7 3 D 由余弦定理得 c 922 32292 3cos 150 1477 3 3在ABC中，已知a2b2c2bc，则角A等于()A60B45 C120D30 C 由cos Ab2c2a22bc12，A120 4在ABC中，若a2c2b2ab
4、，则cos C_ 12 a2c2b2ab，c2a2b2ab 又c2a2b22abcos C，2cos C1cos C12 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 已知两边与一角解三角形【例1】(1)在ABC中，已知b60 cm，c603 cm，A6，则a_cm；(2)在ABC中，若AB5，AC5，且cos C 910，则BC_(1)60(2)4或5(1)由余弦定理得：a60260 3226060 3cos6 60(cm)(2)由余弦定理得：(5)252BC225BC 910，所以BC29BC200，解得BC4或BC5 已知三角形的两边及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边
5、，然后利用余弦定理的推论求出其余角 跟进训练 1在ABC中，a23，c6 2，B45，解这个三角形 解 根据余弦定理得，b2a2c22accos B(23)2(6 2)2223(62)cos 458，b2 2，又cos Ab2c2a22bc 8 6 222 3222 2 6 2 12，A60，C180(AB)75 类型2 已知三边解三角形【例2】在ABC中，已知a2 6，b62 3，c4 3，求A，B，C 解 根据余弦定理，cos Ab2c2a22bc 62 324 322 62262 34 3 32 A(0，)，A6 cos Ca2b2c22ab2 6262 324 3222 662 3 2
6、2，C(0，)，C4 BAC64 712，A6，B 712，C4 1已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 2若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 跟进训练 2已知ABC中，abc26(3 1)，求ABC中各角的度数 解 已知abc2 6(31)，令a2k，b 6k，c(31)k(k0)，由余弦定理的推论，得cos Ab2c2a22bc 6k2 31k22k22 6k 31k 22，0A180，A45 cos Ba2c2b22ac 2k2 31k2 6k
7、222k 31k12，0B180，B60 C180AB180456075 类型3 余弦定理的综合应用【例3】在ABC中，若(accos B)b(bccos A)a，判断ABC的形状 在ABC中，若c2a2b2，则C2成立吗？反之若C2，则c2a2b2成立吗？为什么？提示 成立.因为c2a2b2，所以a2b2c20，由余弦定理的变形cos Ca2b2c22ab0，即cos C0，所以C2；反之若C2，则cos C0，即a2b2c22ab0，所以a2b2c20，即c2a2b2.解(accos B)b(bccos A)a，由余弦定理可得：aca2c2b22acbbcb2c2a22bca，整理得：(a
8、2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b2c2)0，a2b2c20或a2b2 a2b2c2或ab 故ABC为直角三角形或等腰三角形 1(变条件)将例题中的条件“(accos B)b(bccos A)a”换为“acos Abcos Bccos C”其它条件不变，试判断三角形的形状 解 由余弦定理知cos Ab2c2a22bc，cos Bc2a2b22ca，cos C a2b2c22ab，代入已知条件得a b2c2a22bcb c2a2b22cac c2a2b22ab0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4a2b2c
9、2，即a2b2c2或b2a2c2 根据勾股定理知ABC是直角三角形 2(变条件)将例题中的条件“(accos B)b(bccos A)a”换为“lg alg clg sin Blg 2且B为锐角”判断ABC的形状 解 由lg sin Blg 2lg 22，可得sin B 22，又B为锐角，B45 由lg alg clg 2，得ac 22，c 2a 又b2a2c22accos B，b2a22a22 2a2 22 a2，ab，即AB又B45，ABC为等腰直角三角形 如何利用余弦定理判断三角形的形状？提示 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式
10、分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1已知在ABC中，a1，b2，C60，则c等于()A 3 B 2 C 5 D5 A 由余弦定理，得c21222212 cos 603，所以c3 1 2 3 4 5 2在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，则角A等于()A30B60 C120D150 B 由题意知，(bc)2a2b2c22bca23bc，b2c2a2bc，cos Ab2c2a22bc12，A60 1 2 3 4 5 3在ABC中，若a2bcos C，则ABC的形状为_ 等腰三角形 a2bcos C2ba2b2c22aba2b
11、2c2a，a2a2b2c2，即b2c2，bc，ABC为等腰三角形 1 2 3 4 5 4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC,2b 3a，则cos A_ 1 2 3 4 5 13 由BC,2b 3a，可得bc 32 a，所以cos Ab2c2a22bc 34a234a2a22 32 a 32 a13 1 2 3 4 5 5在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，则第三边c的长为_ 4 5x27x60可化为(5x3)(x2)0，x135，x22(舍去)，cos C351 2 3 4 5 根据余弦定理，c2a2b22abcos C52322533516，c4，即第三边长为4回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)余弦定理的内容是什么？其适用于什么形状的三角形？(2)解三角形的概念是什么？(3)如何利用余弦定理判断三角形的形状？点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!