2018届高三数学（理）高考总复习课件：第七章 第七节 第一课时　空间角 .ppt

1、立体几何中的向量方法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 第七节立体几何中的向量方法|ab|a|b|1异面直线所成角设异面直线 a，b 所成的角为，则 cos _，其中 a，b 分别是直线 a，b 的方向向量立体几何中的向量方法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2直线与平面所成角如图所示，设 l 为平面 的斜线，lA，a为 l 的方向向量，n 为平面 的法向量，为l 与 所成的角，则 sin _.3二面角(1)若 AB，CD 分别是二面角-l-的两个平面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的

2、大小就是向量 AB与CD的夹角，如图(1)|cosa，n|an|a|n|立体几何中的向量方法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，则二面角-l-为或.设二面角大小为，则|cos|cos|n1n2|n1|n2|，如图(2)(3)立体几何中的向量方法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1已知正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE，SD 所成角的余弦值为_小题体验解析：以两对角线 AC 与 BD 的

3、交点 O 作为原点，以 OA，OB，OS 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设边长为 2，则有 O(0，0,0)，A(2，0,0)，B(0，2，0)，S(0，0，2)，D(0，2，0)，E0，22，22，AE 2，22，22，SD(0，2，2)，|cos AE，SD|AE SD|AE|SD|22 3 33，故 AE，SD 所成角的余弦值为 33 答案：33立体几何中的向量方法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2(教材习题改编)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB2，BCAA11，则 D1C1 与平面 A1BC1

4、所成角的正弦值为_解析：如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，则 D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，D1C1(0,2,0)，A1C1(1,2,0)，A1B(0,2，1)，设平面 A1BC1 的一个法向量为 n(x，y，z)，立体几何中的向量方法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由nA1C1x2y0，nA1B2yz0，令 y1，得 n(2,1,2)，设 D1C1 与平面 A1BC1 所成角为，则sin|cosD1C1，n|D1C1n|D1C1|n|22313，即直线 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的

5、正弦值为13答案：13立体几何中的向量方法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1求异面直线所成角时易忽视角的范围0，2 而导致结论错误2求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值3利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点立体几何中的向量方法 结 束

6、 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1如图所示，已知正方体 ABCD -A1B1C1D1，E，F 分别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心，则 EF 和 CD 所成的角是_解析：以 D 为原点，分别以射线 DA，DC，DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系 D-xyz，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0，0)，C(0,1,0)，E12，12，1，小题纠偏立体几何中的向量方法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 F12，0，12，EF0，12，12，DC(0,1,0)，co

7、s EF，DC EF DC|EF|DC|22，EF，DC135，异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45答案：45立体几何中的向量方法 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA平面 ABCD，若 ABPA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为_解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设 ABPA1，知 A(0,0,0)，B(1，0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0，0,1)，由题意，AD平面 ABP，设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AEPD，又因为 CD平面 PAD，所以 A

8、ECD，又 PDCDD，所以AE平面 CDP所以 AD(0,1,0)，AE0，12，12 分别是平面 ABP，平面CDP 的法向量，且 AD，AE45，所以平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为 45答案：45空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点一 异面直线所成角第一课时 空间角典例引领(2015全国卷)如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC(1)证明：平面 AEC平面 AFC；(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

9、空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：(1)证明：连接 BD，设 BDAC 于点 G，连接 EG，FG，EF在菱形 ABCD 中，不妨设 GB1由ABC120，可得 AGGC 3由 BE平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC又 AEEC，所以 EG 3，且 EGAC在 RtEBG 中，可得 BE 2，故 DF 22 在 RtFDG 中，可得 FG 62 在直角梯形 BDFE 中，由 BD2，BE 2，DF 22，可得 EF3 22 从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG又 ACFGG，所以 EG平面 AFC因为 EG平面 AEC，所以平

10、面 AEC平面 AFC空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC的方向为 x 轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz由(1)可得 A(0，3，0)，E(1,0,2)，F1，0，22，C(0,3，0)，所以 AE(1，3，2)，CF1，3，22 故 cos AE，CF AE CF|AE|CF|33 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 33 空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法用向量法求异面直线所成角的一般步骤

11、(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用如图，四面体 ABCD 中，O 是 BD 的中点，CACBCDBD2，ABAD 2(1)求证：AO平面 BCD；(2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值解：(1)证明：连接 OC，由 CACBCDBD2，ABAD 2，O 是 BD 的中点，知 CO 3，AO1，AOBD在AOC 中，

12、AC2AO2OC2，则 AOOC又 BDOCO，因此 AO平面 BCD空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)如图建立空间直角坐标系 O-xyz，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，D(1,0,0)，AB(1,0，1)，CD(1，3，0)，|cos AB，CD|AB CD|AB|CD|24 即异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值为 24 空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 典例引领考点二 直线与平面所成角(2016全国丙卷)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 AB

13、CD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC的中点(1)证明 MN平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值解：(1)证明：由已知得 AM23AD2取 BP 的中点 T，连接AT，TN，由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TN12BC2又 ADBC，故 TN 綊 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是MNAT因为 MN平面 PAB，AT平面 PAB，所以 MN平面 PAB空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)取 BC 的中点 E，连接 AE由 ABAC 得 A

14、EBC，从而 AEAD，且 AE AB2BE2AB2BC22 5以 A 为坐标原点，AE的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz由题意知 P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5，2,0)，N52，1，2，PM(0,2，4)，PN52，1，2，AN52，1，2 设 n(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则n PM0，n PN0，即2y4z0，52 xy2z0，可取 n(0,2,1)于是|cosn，AN|n AN|n|AN|8 525 所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为8 525 空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后

15、三 维 演 练 由题悟法向量法求线面角的 2 大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用(2016合肥市第二次质量检测)如图，六面体ABCD-HEFG 中，四边形 ABCD 为菱形，AE，BF，CG，DH 都垂直于平面 ABCD若 DADHDB4，AECG3(1)求证：EGDF；(2)求 BE 与平面 EFGH 所成角的正弦值解：(1)证明：

16、连接 AC，由 AE 綊 CG 可知四边形 AEGC 为平行四边形，所以 EGAC，而 ACBD，ACBF，所以 EGBD，EGBF，因为 BDBFB，所以 EG平面 BDHF，又 DF平面 BDHF，所以 EGDF空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)设 ACBDO，EGHFP，由已知可得，平面 ADHE平面 BCGF，所以 EHFG，同理可得：EFHG，所以四边形 EFGH 为平行四边形，从而 OP平面 ABCD，又 OAOB，所以 OA，OB，OP 两两垂直，由平面几何知识，得 BF2分别以，的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，

17、建立空间直角坐标系 Oxyz，则 B(0,2,0)，E(2 3，0,3)，F(0,2,2)，P(0,0,3)，所以(2 3，2,3)，(2 3，0,0)，(0,2，1)所以 P 为 EG 的中点，O 为 AC 的中点，所以 OP 綊 AE，空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 设平面 EFGH 的法向量为 n(x，y，z)，由 PEn0，PFn0可得x0，2yz0，令 y1，则 z2所以 n(0,1,2)设 BE 与平面 EFGH 所成角为，则 sin|BEn|BE|n|4 525 所以 BE 与平面 EFGH 所成角的正弦值为4 525 空间

18、角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 典例引领(2016全国乙卷)如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60(1)证明：平面 ABEF平面 EFDC；(2)求二面角 E-BC-A 的余弦值考点三 二面角解：(1)证明：由已知可得 AFDF，AFFE，所以 AF平面 EFDC又 AF平面 ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)过 D 作 DG

19、EF，垂足为 G由(1)知 DG平面 ABEF以 G 为坐标原点，GF的方向为 x 轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz由(1)知DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角，故DFE60，则 DF2，DG 3，可得 A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3，0,0)，D(0，0，3)由已知得 ABEF，所以 AB平面 EFDC又平面 ABCD平面 EFDCCD，故 ABCD，CDEF由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，所以CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角，CEF60空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练

20、 从而可得 C(2,0，3)所以 EC(1,0，3)，EB(0,4,0)，AC(3，4，3)，AB(4,0,0)设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量，则n EC0，n EB0，即x 3z0，4y0，所以可取 n(3,0，3)设 m 是平面 ABCD 的法向量，则m AC0，m AB0，同理可取 m(0，3，4)则 cos n，m nm|n|m|2 1919 由图知，二面角 E-BC-A 为钝角，故二面角 E-BC-A 的余弦值为2 1919 空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法利用法向量求二面角时的 2 个注意点(1)对于某些

21、平面的法向量要注意题中隐含条件，不用单独求(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用(2017河北省三市联考)如图，三棱柱 ADE-BCG中，四边形 ABCD 是矩形，F 是 EG 的中点，EAAB，ADAEEF1，平面 ABGE平面 ABCD(1)求证：AF平面 FBC；(2)求二面角 B-FC-D 的正弦值解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，BCAB，又平面 ABGE平面 ABCD，BC平面 ABGE，AF平面 ABGE，BCAF在AFB 中，AFBF 2，A

22、B2，AF2BF2AB2，即 AFBF，又 BFBCB，AF平面 FBC空间角 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)分别以 AD，AB，AE 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(1,2,0)，E(0,0,1)，B(0,2,0)，F(0,1,1)，DE(1,0,1)，DC(0,2,0)，设 n1(x，y，z)为平面 CDEF 的法向量，则n1 DC0，n1 DE0，即2y0，xz0，令 x1，得 z1，即 n1(1,0,1)，取 n2 AF(0,1,1)为平面 BCF 的一个法向量，cosn1，n2 n1n2|n1|n2|12，二面角 B-FC-D 的正弦值为 32