1、2.1.3向量的减法1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.(重点)2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义.(难点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(易混点)基础初探教材整理1向量的减法阅读教材P84倒数“第7行”以上内容，完成下列问题.图21191.向量减法的定义：已知向量a，b(如图2119)，作a，作b，则ba，向量叫做向量a与b的差，并记作ab，即ab.2.向量减法的两个重要结论：(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.(2)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置
2、向量，或简记“终点向量减始点向量”.在ABC中，D是BC的中点，设c，b，a，d，则da_.【解析】dad(a)c.【答案】c教材整理2相反向量阅读教材P84倒数“第6行”P85“例1”以上部分内容，完成下列问题.1.相反向量的定义：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作a.2.相反向量的性质：(1)a(a)(a)a0；(2)(a)a；(3)零向量的相反向量仍是0，即00.3.向量减法的理解：在向量减法的定义式ba的两边同时加(b)，由b(b)0得a(b)，这就是说，从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.设b是a的相反向量，则下列说法错误的有_.a与b的长度必相等；a
3、b；a与b一定不相等；a是b的相反向量.【解析】因为0的相反向量是0，故不正确.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型向量减法及其几何意义(1)可以写成：；.其中正确的是()A. B. C. D.(2)化简：_；_.(3)已知菱形ABCD的边长为2，则向量的模为_，|的范围是_.【精彩点拨】(1)用三角形法则求向量和的关键是“首尾相连”，用平行四边形法则求向量和的关键是“共起点”.(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后用加法a(b)即可，也可以直接用向量减法的三
4、角形法则，即把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.【自主解答】(1)因为，所以选D.(2)()0；()().(3)因为，又|2，所以|2.又因为，且在菱形ABCD中，|2，所以|，即0|4.【答案】(1)D(2)0(3)2(0,4)1.向量加法与减法的几何意义的联系：(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若a，b，则ab，ab.(2)类比|a|b|ab|a|b|可知|a|b|ab|a|b|.2.向量加减法化简的两种形式：(1)首尾相连且为和.(2)起点相同且为差.做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.再练一题1.下列各式中不能化简为的是()A
5、.()B.()C.()()D.【解析】选项A中()；选项B中()0；选项C中()()().【答案】D利用已知向量表示其他向量如图2120所示，已知a，b，c，d，e，f ，试用a，b，c，d，e，f 表示：图2120(1)；(2)；(3).【导学号：72010045】【精彩点拨】运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a，b，c，d，e，f 的和与差来表示.【自主解答】(1)b，d，db.(2)a，b，c，f ，()()bf ac.(3)d，f ，f d.1.解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
6、2.通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“”改为“”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“”改为“”.再练一题2.如图2121，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量，及.图2121【解】四边形ACDE为平行四边形，c，ba，ca，cb，bac.探究共研型向量减法的三角不等式及其取等条件探究1若|8，|5，则|的取值范围是什么？【提示】由及三角不等式，得|，又因为|8，所以3|13，即|3,13.探究2已知向量a，b，那么|a|b|与|ab|及|a|b|三者具有什么样的大小关系？【提示】它们之间的关系为|
7、a|b|ab|a|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立.(2)当a，b不共线时，作a，b，则ab，如图(1)所示，根据三角形的性质，有|a|b|ab|a|b|.同理可证|a|b|ab|b|，作法同上，如图(3)所示，此时|ab|a|b|.综上所述，得不等式|a|b|ab|a|b|.设a和b的长度均为6，夹角为，则|ab|等于_.【精彩点拨】画出平行四边形数形结合求解.【自主解答】作a，b，则|ab|，在RtBCO中，BOC，|6，|3，|ab|2|6.【答案】6利用“三角形法则、平行四边形法则”把向量问题转化为平面几何的问题，然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判
8、断也是本节的一个解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化运算，达到巧解的目的.再练一题3.已知|a|6，|b|8，且|ab|ab|，求|ab|.【解】如图，作a，b，再以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则有ab，ab，即|ab|与|ab|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|ab|ab|，所以该四边形为矩形，从而|ab|10.构建体系1.在ABC中，若a，b，则等于()A.aB.abC.ba D.ab【解析】ab.故选D.【答案】D图21222.如图2122，在四边形ABCD中，设a，b，c，则()A.abc B.b(ac)C.abc D.bac【解析】abc.【答案】A3.若O，E，F
9、 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.B.C.D.【解析】因为O，E，F 三点不共线，所以在OEF 中，由向量减法的几何意义，得，故选B.【答案】B4.已知a，b为非零向量，则下列命题中真命题的序号是_.【导学号：72010046】若|a|b|ab|，则a与b方向相同；若|a|b|ab|，则a与b方向相反；若|a|b|ab|，则a与b有相等的模；若|a|b|ab|，则a与b方向相同.【解析】当a，b方向相同时有|a|b|ab|，|a|b|ab|，当a，b方向相反时有|a|b|ab|，|a|b|ab|.因此为真命题.【答案】5.化简：()().【解】法一：()()()()0.法二：(
10、)()()()0.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.在平行四边形ABCD中，a，b，则的相反向量是()A.ab B.baC.ab D.ab【解析】ba，的相反向量为(ba)ab.【答案】A2.已知平面内M，N，P三点满足0，则下列说法正确的是()A.M，N，P是一个三角形的三个顶点B.M，N，P是一条直线上的三个点C.M，N，P是平面内的任意三个点D.以上都不对【解析】因为0，0对任意情况是恒成立的.故M，N，P是平面内的任意三个点.故选C.【答案】C3.(2016天津和平区期末)在四边形ABCD中
11、，给出下列四个结论，其中一定正确的是()A. B.C. D.【解析】由向量加减法法则知，C项只有四边形ABCD是平行四边形时才成立，.故选B.【答案】B4.给出下列各式：；.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是()A.4 B.3C.2 D.1【解析】0；()0；0；0.【答案】A5.已知D，E，F 分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()【导学号：72010047】图2123A.0 B.0C.0 D.0【解析】因为D，E，F 分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，所以，所以0，故A成立.0，故B不成立.0，故C不成立.0，故D不成立.【答案】A二、填空题6.如图2124所
12、示，已知O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，则_.(用a，b，c表示)图2124【解析】由题意，在平行四边形ABCD中，因为a，b，所以ab，所以ab，所以abc.【答案】abc7.在平行四边形ABCD中，若a，b，且|ab|ab|，则四边形ABCD的形状是_.【解析】由平行四边形法则知，|ab|，|ab|分别表示对角线AC，BD的长，当|时，平行四边形ABCD为矩形.【答案】矩形三、解答题8.图2125如图2125，解答下列各题：(1)用a，d，e表示.(2)用b，c表示.(3)用a，b，e表示.(4)用d，c表示.【解】因为a，b，c，d，e，所以(1)dea；(2)bc；(3)ab
13、e；(4)()cd.9.(2016泰安高一检测)已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，M是斜边AB的中点，a，b，求证：(1)|ab|a|；(2)|a(ab)|b|.【证明】如图，在等腰RtABC中，由M是斜边AB的中点，得|，|.(1)在ACM中，ab.于是由|，得|ab|a|.(2)在MCB中，ab，所以abaa(ab).从而由|，得|a(ab)|b|.能力提升1.平面内有三点A，B，C，设m，n，若|m|n|，则有()A.A，B，C三点必在同一直线上B.ABC必为等腰三角形且ABC为顶角C.ABC必为直角三角形且ABC90D.ABC必为等腰直角三角形【解析】如图，作，则ABCD为平行四边形，从而m，n.|m|n|，|.四边形ABCD是矩形，ABC为直角三角形，且ABC90.【答案】C2.已知OAB中，a，b，满足|a|b|ab|2，求|ab|与OAB的面积.【解】由已知得|，以、为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且ab，ab，由于|a|b|ab|，则OAOBBA，OAB为正三角形，|ab|22，SOAB2.