1、23幂函数学习目标1.通过实例，了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数(易混点).2.结合函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象，了解它们的变化情况(难点).3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较(重点)一、幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数二、幂函数的图象与性质幂函数yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)增x(，0)减增增x(0，) 减x(，0)减公共点都经过点(1，1)三、幂函数与指数函数的区别与联系函数指数函数幂函数解析式yax(a0，且a1)yx
2、(R)相同点右边都是幂的形式不同点幂函数的未知数是底数，而指数函数的未知数是指数；指数函数定义域为R，与a无关，而幂函数yx的定义域随的不同而不同1判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx32是幂函数()(2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点()(3)指数函数yax的定义域为R，与底数a无关，幂函数yx的定义域为R，与指数也无关()【答案】(1)(2)(3)2下列函数中，不是幂函数的是()Ay2xByx1Cy Dyx2【解析】由幂函数定义知y2x不是幂函数，而是指数函数【答案】A3函数yx3的图象关于_对称【解析】函数yx3为奇函数，其图象关于原点对称【答案】原点4若幂函
3、数过(2，)点，则此函数的解析式为_【解析】设幂函数为f(x)x，则2，.f(x)x.【答案】f(x)x预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4幂函数的概念(1)若y(m24m4)xm是幂函数，则m_(2)(2014宿迁高一检测)已知幂函数f(x)x的图象过点，则f(4)_(3)函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式为_【解析】(1)y(m24m4)xm是幂函数，m24m41，解得m1或m5.(2)由题意2，即22，f(4)4.(3)根据幂函数的定义得m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)
4、x3，在(0，)上是增函数，符合题意；当m1时，f(x)x3，在(0，)上是减函数，不符合要求故f(x)x3.【答案】(1)1或5(2)(3)f(x)x3判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件幂函数的图象和性质(1)(2014长沙高一检测)如图231中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取2，四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()图231A2，2B2，2C，2，2，D2，
5、2，(2)若点A(，2)在幂函数f(x)的图象，B在幂函数g(x)的图象上，求f(x)、g(x)的解析式；求当x为何值时：()f(x)g(x)；()f(x)g(x)；()f(x)g(x)【思路探究】(1)根据幂函数的图象特征及性质确定相应的图象；(2)设出函数解析式f(x)xa、g(x)xb，把A，B两点的坐标分别代入求得a，b即可画出相应的函数图象，数形结合求得x的范围【解析】(1)由幂函数的图象与性质，n0时不过原点，故C3，C4对应的n值均为负，C1，C2对应的n值均为正；由增(减)快慢知曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为2，2.【答案】B(2)设f(x)xa，因为点(，2)在幂函数
6、f(x)的图象上，所以()a2，所以a2，即f(x)x2.设g(x)xb，因为点B在幂函数g(x)的图象上，所以(2)b，所以b2，即g(x)x2.令f(x)g(x)，解得x1.在同一坐标系下画出函数f(x)和g(x)的图象，如图：由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(1，1)和(1，1)所以(i)当x1或x1时，f(x)g(x)；()当x1或x1时，f(x)g(x)；()当1x1且x0时，f(x)g(x)1幂函数的图象有以下特点：(1)恒过点(1，1)，且不过第四象限(2)当0时，幂函数的图象在(0，)上都是增函数；当0时，幂函数的图象在(0，)上都是减函数(3)在第一象限内，直线x1
7、的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小2幂函数yx在第一象限内图象的画法(1)当0时，其图象可以类似yx1画出；(2)当01时，其图象可以类似yx画出；(3)当1时，其图象可以类似yx2画出本例(2)中若定义h(x)求函数h(x)的最大值及单调区间【解】由题意h(x)根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(，1，(0，1，单调递减区间为1，0)，1，)幂值的大小比较比较下列各组数的大小：(1)3和3.1；(2)8和；(3)4.1，3.8和(1.9).【思路探究】比较两个幂值的大小，可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较对于(1)，(2)可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较
8、，而(3)可找中间量进行比较【解】(1)函数yx在(0，)上为减函数，又33.1.(2)8，函数yx在(0，)上为增函数，又，则，从而811；03.811；(1.9)0，所以(1.9)3.84.1.幂值大小比较常用的方法要比较的两个幂值，若指数相同，底数不同，则考虑应用幂函数的单调性；若底数相同，指数不同，则考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，则考虑借助中间量“1”“0”“1”进行比较比较大小，说明理由(1)0.95与0.96；(2)0.95与0.95.【解】(1)函数yx在(0，)上是增函数，且0.950.96，0.950.96.(2)函数y0.95x在R上是减函数，且，0.95
9、0.95.1幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准幂函数与指数函数形同而实异，幂函数的自变量在底数位置上，指数函数的自变量在指数位置上2已知幂函数的图象和性质求解析式时，常用待定系数法3幂函数yx在第一象限的图象特征(1)当1时，图象过点(0，0)，(1，1)，递增，如yx2；(2)当01时，图象过点(0，0)，(1，1)，递增，如yx；(3)当0时，图象过点(1，1)，递减，且以两坐标轴为渐近线，如yx1，yx等4比较大小(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(
10、3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数分类讨论思想在幂函数中的应用(5分)若(a1)(32a)，则实数a的取值范围为()A(，1)B.C(，1) D.【思路探究】以a1，32a是否在幂函数的同一单调区间为标准分类求解【满分样板】考查幂函数yx，类比yx1的单调性，可得：若xy，则有x0y，yx0或0yx三种情况因此，若(a1)(32a)，则有如下三种可能：或或解得a1或a.故实数a的取值范围为(，1).【答案】C1欲利用幂函数yx的性质求参数的值，可类比幂函数yx1的性质，yx1有两个单调递减区间(，0)，(0，)，又当x0时，y0；当x0时，y0.2本题以a1，32a是否在幂函数yx的同一单调区间为标准分类，可分为两类，而在同一单调区间时，又分两种情况，从而做到不重不漏类题尝试(2014济南高一检测)已知函数y(m23m3)x1为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性【解】由题意得m23m31，即m23m20.m1或m2.当m2时，yx，定义域为R，yx在(，)上是增函数且是奇函数当m1时，yx，定义域为(，0)(0，)由于yx，函数yx为偶函数又0，yx在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数