1、考点测试67变量间的相关关系与统计案例一、基础小题1某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A.2x100 B.2x100C.2x100 D.2x100答案A解析B、D为正相关，C中值恒为负，不符合题意2某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x/万元4235销售额y/万元49263954根据上表可得回归方程x中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A63.6万元 B65.5万元C67.7万元 D72.0万元答案B解析9.49.1，回归方程为9.4x9.1.令x6，得9.469.165.5(万元)3设某大学的女生体重y(单位：kg)
2、与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x85.71，则下列结论中不正确的是()Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心(，)C若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg答案D解析由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确又线性回归方程必过样本点中心(，)，因此B正确由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C正确当某女生的身高为170 c
3、m时，其体重估计值是58.79 kg，而不是具体值，因此D不正确4在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线yx1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A1 B0 C. D1答案D解析样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即yii，代入相关系数公式r1.5. 设(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()A直线l过点(，)Bx和y的相关系数为直线l的斜率Cx
4、和y的相关系数在0到1之间D当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同答案A解析因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以B、C错误；D中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以D错误；根据线性回归直线一定经过样本点中心可知A正确6在一次对性别与说谎是否相关的调查中，得到如下数据：说谎不说谎合计男6713女8917合计141630根据表中数据，得到如下结论中正确的一项是()A在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关B在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C在此次调查中有99.5%的把握认为是
5、否说谎与性别有关D在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关答案D解析由于K20.0024，由于K2很小，因此，在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关故选D.7. 如图所示，有5组(x，y)数据，去掉_组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系答案D解析由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D.8对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过心脏病未发作过心脏病合计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196合计68324392试根据上述数据计算K2_.根据表中所
6、给的数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有差别？_.答案1.779不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论解析根据列联表中的数据，可以求得K21.779，而K20，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0答案B解析把样本数据中的x，y分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点图，由图可知b0.故选B.13已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.0.4x2.3 B.2x2.4C.2x9.5 D.0.3x4.4答案A解析由变量x与y正相关知C、D均错，又回归
7、直线经过样本中心(3,3.5)，代入验证得A正确，B错误故选A.三、模拟小题14已知x，y的取值如表所示：x234y645如果y与x线性相关，且线性回归方程为x，则的值为()A B. C D.答案A解析将3，5代入到x中，得.故选A.15对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i1,2，8)，其回归直线方程是x，且x1x2x3x82(y1y2y3y8)6，则实数的值是()A. B. C. D.答案B解析依题意可知样本中心点为，则a，解得.16下列说法错误的是()A在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定B在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C
8、在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好答案B解析对于A，在回归模型中，预报变量y的值由解释变量x和随机误差e共同确定，即x只能解释部分y的变化，A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，B错误；对于C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C正确；对于D，在回归分析中，用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2取值越大，说明模型拟合的效果越好，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，D正确故
9、选B.17为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用22列联表计算所得的K23.918.经查对临界值表知P(K23.841)0.05.对此，四名同学得出了以下结论：有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能得近视；这套眼保健操预防近视的有效率为95%；这套眼保健操预防近视的有效率为5%.其中所有正确结论的序号是_答案解析根据查对临界值表知P(K23.841)0.05，故有95%的把握认为“这套
10、眼保健操能起到预防近视的作用”，即正确；95%仅是指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以错误18从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，计算得i80，i20，iyi184，720.已知家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程为x，则变量x与y_(填“正相关”或“负相关”)；若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄是_千元答案正相关1.7解析由题意，知n10，i8，i2，0.3，20.380.4，0.3x0.4，0.30，变量x与y正相关当x7时，0.370.41.7(千元)一、高考大题1下图是我国20
11、08年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：yi9.32，tiyi40.17, 0.55，2.646.参考公式：相关系数r，回归方程t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， .解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得4， (ti)228, 0.55， (ti)(yi)tiyiyi40.1749.322.89，r0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用
12、线性回归模型拟合y与t的关系(2)由1.331及(1)得0.103，1.3310.10340.92.所以y关于t的回归方程为0.920.10t.将2016年对应的t9代入回归方程得0.920.1091.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨2某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 (xi)2 (wi)2 (xi)(yi) (wi)(yi)46.65636.8289.81.6146
13、9108.8表中wi，wi.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .解(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2) 令w，先
14、建立y关于w的线性回归方程由于68，563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(3)由(2)，知当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.60.24966.32.根据(2)的结果，知年利润z的预报值0.2(100.668)xx13.620.12，所以当6.8，即x46.24时，取得最大值，故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大二、模拟大题3班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游
15、戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多(1)根据以上数据建立一个22列联表；(2)试问喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系参考公式：K2，其中nabcd.参考数据：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解(1)根据题中所给数据，得到如下列联表：认为作业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏10212不喜欢玩电脑游戏3710总计13922(2)K26.418，3.8412.706，所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”5PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集
16、到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量x(万辆)100102108114116浓度y(微克/立方米)7880848890(1)根据上表数据，用最小二乘法求出y与x的线性回归方程；(2)若周六同一时段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？参考公式：，.解(1)由条件可知i108，i84，(xi)(yi)(8)(6)(6)(4)006486144，(xi)2(8)2(6)2026282200，0.72，840.721086.24，故y关于x的线性回归方程为0.72x6.24.(2)当x200时，0.
17、722006.24150.24.所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米6某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：员工编号12345678910年薪(万元)33.5455.56.577.5850(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；(2)从该单位中任取2人，此2人中年薪高于5万的人数记为，求的分布列和期望；(3)已知员工年薪与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少附：线性回归方程x中系数计算公式，其中，表示样本均值解(1)平均值为10万元，中位数为6万元(2)年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人，所以从该单位中任取2人，此2人中年薪高于5万的人数记为，的可能取值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2)，所以的分布列为：012PE()012.(3)设xi，yi(i1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则2.5，5，(xi)22.250.250.252.255，(xi)(yi)1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.61.52.27，1.4，51.42.51.5，所以线性回归方程为1.4x1.5.当x5时，8.5.故可预测该员工第五年的年薪为8.5万元