1、6.1 平面向量的概念 第六章 平面向量及其应用 学 习 任 务核 心 素 养 1理解向量的有关概念及向量的几何表示(重点)2理解共线向量、相等向量的概念(难点)3正确区分向量平行与直线平行(易混点)1从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养 2类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养 3通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推理的核心素养 情境导学探新知 NO.1 高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要全身器官的整体协调，而击球的关键在于两个“D”，即方向(Direction)和距离(Distance)，初学者中有不少
2、人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要！所以擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要”方向走对了，哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远 问题：你能从数学的角度来解释高尔夫球运动中“方向比距离更重要”的原因吗？知识点1 向量与数量(1)向量：既有又有的量叫做向量(2)数量：只有没有的量称为数量 大小方向大小方向1海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？提示 海拔不是向量，它只有大小没有方向温度也是只有大小没有方向，不是向量
3、海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是指方向 1给出下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程；密度；功；时间其中是向量的有_(填序号)质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，所以是向量 知识点2 向量的几何表示(1)的线段叫做有向线段它包含三个要素：、(2)向量可以用AB来表示向量AB的大小称为向量 AB的(或称模)，记作 向量也可以用字母a，b，c，表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB，CD 具有方向起点方向长度有向线段长度|AB|2(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段
4、就是向量吗？提示(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量 2如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出_个向量 12 由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC 知识点3 向量的有关概念 零向量长度为0的向量，记做0 单位向量长度等于 个单位长度的向量 平行向量(共线向量)方向的非零向量向量a，b平行，记作 规定：零向量与任意向量相等向量长度且方向的向量a与向量b相等，记作1相同或相反ab平行相等相同ab3“向量平行”与“几何中
5、的直线平行”一样吗？提示 向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线 3思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)长度为0的向量都是零向量()(2)零向量的方向都是相同的()(3)单位向量的长度都相等()(4)单位向量都是同方向()(5)任意向量与零向量都共线()答案(1)(2)(3)(4)(5)4如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是_(填序号)(1)AD 与BC；(2)OB 与OD；(3)AC与BD；(4)AO 与OC (1)(4)由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：AD BC，OB OD，ACBD，AO OC 合作探究释疑难 NO.
6、2类型1 类型2 类型3 类型1 向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|b|，若a与b的方向相同，则ab；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反 解(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系(3)正确因为|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab(4)不正确依据规定：0与任意
7、向量平行(5)不正确因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定 1理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向 2共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同 提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心方向和长度 跟进训练 1给出下列命题：若ab，bc，则ac；若单位向量的起点相同，则终点相同；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；向量AB与CD 是共线向量，则A，B，C，
8、D四点必在同一直线上 其中正确命题的序号是_ 错误若b0，则不成立；错误起点相同的单位向量，终点未必相同；正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD 必须在同一直线上 类型2 向量的表示及应用【例2】(对接教材P5T1)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA，使|OA|4 2，点A在点O北偏东45；(2)AB，使|AB|4，点B在点A正东；(3)BC，使|BC|6，点C在点B北偏东30 解(1)由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与
9、纵向小方格数相等又|OA|42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA 如图所示(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示(3)由于点C在点B北偏东30处，且|BC|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3 35.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示 用有向线段表示向量的基本思路是什么？提示 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点必要
10、时，需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量 跟进训练 2飞机从A地按北偏西15的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地的什么方向上？C地距A地多远？解 如图所示，AB 表示飞机从A地按北偏西15方向飞行到B地的位移，则|AB|1 400 kmBC表示飞机从B地按南偏东75方向飞行到C地的位移，则|BC|1 400 km 所以AC为飞机从A地到C地的位移 在ABC 中，ABBC1 400 km，且ABC751560，故ABC 为等边三角形，所以BAC60，AC1 400 km601545，所以 C
11、地在 A 地北偏东 45方向上，距离 A 地 1 400 km 类型3 相等向量和共线向量【例3】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA a，OB b，OC c(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量 1两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示 不一定因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关 2若ABCD，则从直线AB与直线CD的关系和AB与CD 的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示 分四种情况(1)直线AB和直线CD重合，AB与CD 同向；(2)直线AB和直线CD
12、重合，AB与CD 反向；(3)直线AB直线CD，AB与CD 同向；(4)直线AB直线CD，AB与CD 反向 解(1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD (3)与a相等的向量有 EF，DO，CB；与b相等的向量有 DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，AB 1本例条件不变，写出与向量BC相等的向量 解 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以题图中与BC相等的向量有AO，OD，FE 2本例条件不变，写出与向量BC长度相等的共线向量 解 与 BC 长度相等的共线向量有：CB，OD，DO，AO，O
13、A，FE，EF 3在本例中，若|a|1，则正六边形的边长如何？解 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，所以FOA为等边三角形，所以边长AF|a|1 相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量 提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量 跟进训练 3如图所示，ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点(1)写出与EF共线的向量；(2)写出
14、与EF长度相等的向量；(3)写出与EF相等的向量 解(1)E，F分别是AC，AB的中点，EFBC，与EF共线的向量为FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB(2)E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，EF12BC，BDDC12BC，EFBDDC AB，BC，AC均不相等，与EF长度相等的向量为FE，BD，DB，DC，CD (3)与EF相等的向量为DB，CD 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，an，则这n个向量()A都相等 B都共线 C都不共线D模都相等 D 因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等 1
15、2 3 4 5 2汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是()A汽车的速度大于摩托车的速度 B汽车的位移大于摩托车的位移 C汽车走的路程大于摩托车走的路程 D以上都不对 1 2 3 4 5 C 速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小 1 2 3 4 5 3(多选题)下列条件，能使ab成立的有()AabB|a|b|Ca与b方向相反D|a|0或|b|0 ACD 若ab，则a与b大小相等且方向相同，所以ab；若|a|b|，则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定有ab；方向相同或相反的向量都是平
16、行向量，若a与b方向相反，则有ab；零向量与任意向量都平行，所以若|a|0或|b|0，则ab 1 2 3 4 5 4如图，在圆O中，向量OB，OC，AO 是()A有相同起点的向量 B共线向量 C模相等的向量 D相等的向量 C 由题图可知，三向量方向不同，但长度相等，即这三个向量的模相等 1 2 3 4 5 5如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，DAB60，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)与DA 平行的向量有_；(2)与DA 模相等的向量有_ 1 2 3 4 5 答案(1)AD，BC，CB (2)AD，BC，CB，AB，BA，DC，CD，BD，DB 回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)向量的概念是什么？如何用有向线段表示一个向量？(2)如何区别零向量、单位向量、平行向量与相等向量的概念？点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!