1、专题29 方程思想阅读与思考所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系，恰当引入未知量，寻找已知量与未知量的等量关系，列方程或方程组，通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法.应用方程思想解决问题的常见途径有：1引入字母，把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解；2突出主元，把等式看作是其中某个字母的方程，将问题转化为方程或方程组问题来探讨；3构造一元二次方程，利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识，求解代数式的相关问题；4列方程、方程组解应用题；5通过列方程或方程组解几何计算题，把几何问题代数化 17世纪，法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想：把所有问题 数学问题 代数问题
2、方程问题虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现，但随着计算机的广泛应用，人们已经越来越体验到方程思想的重要性构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径，在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求最值等方面有广泛的应用常用的构造方法有：用根的定义构造；用韦达定理的逆定理构造；对于含有多个字母的变元等式问题，把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.例题与求解【例1】 已知：，是四个不同的有理数，且（ac）(ad)1，(bc)(bd)1，那么(a十c) (bc)的值是_ _ （江苏省竞赛试题）解题思路：本例内容新颖，构思巧妙，解题思路宽广，或用特殊值代入试算、或从变形已知等式入手. 仔细观察已知两个等式
3、特点，可看作是方程(xc)(xd)1的两根，利用方程思想揭示题设条件与结论的内在规律【例2】化简的结果是( ) A B C D2 （武汉市选拔赛试题）解题思路：设，将二次根式的化简问题转化为解方程.【例3】已知实数，满足，则的值为( )A. 7 B C D5（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题可以构造一元二次方程，利用根与系数关系韦达定理解决.【例4】 已知，求的值（“数学周报杯”天津竞赛试题）解题思路：要求的代数式中含三个字母，正好与已知的三个等式中含的三个字母相同，所以可以将已知的三个等式组成二元二次方程组，求出这些未知数的值本例已知的三个等式中含的三个字母相同，结构相同，排列位置循环转
4、，根据这些特点可构造二次方程求解，这也是解决这类问题的常见方法.【例5】 如图，RtABC中，C90，BC6，AC8点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BPAQ.点E，D分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQAB，垂足为点Q，交AC于点H，当点E到达顶点B时，P，Q同时停止运动，当BP长为何值时，HDE为等腰三角形？（台州市中考试题改编）解题思路：本题可结合图形，从几何知识中找等量关系列方程 利用方程思想解几何题，通常是对某几何量进行合理设元，根据几何性质正确列出方程、方程组，然后化归为解方程、方程组的有关问题著名数学家波利亚曾说：“为了使
5、问题的概念完整，更富于启发性，更为人所熟悉，我们可以引入辅助元素”通过引入辅助元素，有利于各知识领域之间的横向过渡，有利于转化问题解决间题引入辅助元素的常见形式有：引入参数； 引入辅助方程； 引入辅助函数；引入辅助配对代数式； 恰当作辅助线； 引入辅助命题【例6】周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个 （全国初中数学联赛试题）解题思路：设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，面积为s由题设条件及几何知识可得到关于以a，b，c，s的方程组，这样，符合条件的直角三角形是否存在的探讨就转化方程组是否有解的讨论能力训练1设，则_. （全国初中数学联赛试
6、题）2一个读书小组有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这个读书小组有六本书，书名分别是A，B，C，D，E，F每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，5本书，而书A，B，C，D，E分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过，那么，吴姓同学读过_本书，书F被小组中_位同学读过3设，且，那么k_.（河南省竞赛试题）4x，y，z 是实数，并且满足，则的最小值是_（北京市竞赛试题）5如图，AA，BB分别是EAB，DBC的平分线，若AABBAB，则BAC_（全国初中数学联赛试题） 6已知 ，则的值为( ) A0 B4 C6 D. 127 某单位一次在快餐店订了2
7、2盒盒饭，共花费140元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为 8元、5元、3元，那么可能的不同订餐方案有( ) （山东省竞赛试题） A.1个 B2个 C3个 D4个8已知，都是负实数，且，那么的值为( ) （江苏省竞赛试题）A B C. D9甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( ) A甲比乙大5岁 B甲比乙大10岁 C乙比甲大10岁 D乙比甲大5岁（全国初中数学竞赛试题）10已知，且，则的值是( ) （山东省竞赛试题） A35 B36 C35 D3611已知，求的取值范围 （黄冈市竞赛试题）12. 如图，在RtABC中，ABC90，O是AB上一点. 以O为圆
8、心，以OB为半径作圆，交AC于 E、F，交AB于D. 若E是的中点，且AE：EF3：1，FC4，求CBF的正弦值及BC的长 （北京市海淀区中考试题） 13. 如图，在四边形ABCD中，ADDC1，DABDCB90，BC，AD的延长线交于P，求 ABSABP的最小值. （四川省竞赛试题） 14.设a1，a2，b1，b2都为实数，a1a2，满足（a1b1）（a1b2）（a2b1）(a2b2) 1求证：（a1b1）（a2b1）（a1b2）(a2b2) 1. （“祖冲之杯”邀请赛试题）15.已知a，b，c都是正整数，且抛物线与轴有两个不同交点A，B若A，B到原点的距离都小于1，求的最小值（全国初中数学
9、联赛试题）16.在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完全平方数的点称为“好点”. 求二次函数的图象上所有“好点”的坐标（数学周报杯全国竞赛试题）17已知a，b，c为正数，满足以，证明：以，为三边长可构成一个直角三角形（全国初中数学联赛试题）18. 一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少km?（全国初中数学竞赛试题）19.如图，AB为半圆O的直径，动点C在半圆上，CDAB于D，O1与内切且与AB，CD相切，O2与内切且与AB，CD相切，E，F是AB上的两个切点，求证：ECF45.