1、专题突破练(2)利用导数研究不等式与方程的根一、选择题1设函数f(x)xln x(x0)，则f(x)()A在区间，(1，e)上均有零点B在区间，(1，e)上均无零点C在区间上有零点，在区间(1，e)上无零点D在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点答案D解析因为f(x)，所以当x(3，)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0,3)时，f(x)0，f(x)单调递减，而01e0，f(1)0，f(e)1xf(x)恒成立，则不等式x2ff(x)0的解集为()A(0,1) B(1,2) C(1，) D(2，)答案C解析令F(x)，x0，则F(x)，因为f(x)xf(x)，所以F(x)0，得，所以0，
2、所以x1，故选C.3已知函数f(x)ax2bxln x(a0，bR)，若对任意x0，f(x)f(1)，则()Aln a2b Dln a2b答案A解析f(x)2axb，由题意可知f(1)0，即2ab1，由选项可知只需比较ln a2b与0的大小，而b12a，所以只需判断ln a24a的符号构造一个新函数g(x)24xln x，则g(x)4，令g(x)0，得x；当x时，g(x)为减函数，所以对任意x0有g(x)g1ln 40，所以有g(a)24aln a2bln a0ln a2b，故选A.二、填空题4已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)3，且对任意xR总有f(x)3，则不等式f(x)3x15的解
3、集为_答案(4，)解析令g(x)f(x)3x15，则g(x)f(x)30，所以g(x)在R上是减函数又g(4)f(4)34150，所以f(x)0，且f(1)a20，即2a0的解集为_答案(，1)(1,1)(3，)解析由可导函数f(x)的图象，得或解之得x(，1)(1,1)(3，)7若二次函数f(x)ax24bxc对任意的xR恒有f(x)0，其导函数满足f(0)0，则的最大值为_答案0解析因为f(x)0恒成立，所以又f(0)4b0，则2.因为4ac28b，所以2，故220，当且仅当4ac，ac4b2，即ab，c4b时，取到最大值0.三、解答题8已知函数f(x)，其中kR且k0.(1)求函数f(x
4、)的单调区间；(2)当k1时，若存在x0，使ln f(x)ax成立，求实数a的取值范围解(1)定义域为R，f(x)，若k0，当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0；当0x0.所以当k0时，函数f(x)的单调递减区间是(，0)，(2，)，单调递增区间是(0,2)(2)当k1时，f(x)，x0，由ln f(x)ax，得a0，g(x)，所以当0x0；当xe时，g(x)0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，故g(x)maxg(e)1，所以实数a的取值范围是.9已知函数f(x)ln x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数yf(x)的两个零点为x
5、1，x2(x12a.解(1)f(x)，(x0)所以当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增(2)证明：若函数yf(x)的两个零点为x1，x2(x1x2)，由(1)可得0x1ax2.令g(x)f(x)f(2ax)，(0xa)，则g(x)f(x)f(2ax)(xa)g(a)0，即f(x)f(2ax)令xx1f(2ax1)，所以f(x2)f(x1)f(2ax1)，由(1)可得f(x)在(a，)上单调递增，所以x22ax1，故x1x22a.10已知函数f(x)axln x，aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x(0，e
6、时，求g(x)e2xln x的最小值；(3)当x(0，e时，证明：e2xln x.解(1)f(x)a(x0)当a0时，f(x)0时，令f(x)0，得x；令f(x)0，得0x0时，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)因为g(x)e2xln x，则g(x)e2，令g(x)0，得x，当x时，g(x)0，所以当x时，g(x)取得最小值，g(x)ming3.(3)证明：令(x)，则(x)，令(x)0，得xe.当0xe时，(x)0，h(x)在(0，e上单调递增，所以(x)max(e)，e2xln x.11已知函数f(x)ln xax22x.(1)若函数f(x)在x内单调递减，求实数a的取值范围
7、；(2)当a时，关于x的方程f(x)xb在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围解(1)f(x)2ax2，由题意f(x)0在x时恒成立，即2a21.在x时恒成立，即2amax，当x时，21取最大值8，实数a的取值范围是a4.(2)当a时，f(x)xb可变形为x2xln xb0，令g(x)x2xln xb(x0)，则g(x).列表如下：x1(1,2)2(2,4)4g(x)0g(x)b极小值2ln 2b2g(x)极小值g(2)ln 2b2，g(1)b，又g(4)2ln 2b2，方程g(x)0在上恰有两个不相等的实数根，得ln 220，且对任意的x0，f(x)f(1)，试比较ln a与2b的大
8、小解(1)当a1，b3时，f(x)x23xln x，且x，f(x)2x3.由f(x)0，得x1；由f(x)0，得1x2，所以函数f(x)在上单调递增；函数f(x)在(1,2)上单调递减，所以函数f(x)在区间仅有极大值点x1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在上的最大值是f(1)2，又f(2)f(2ln 2)2ln 2ln 40，故f(2)f，故函数在上的最小值为f(2)2ln 2.(2)由题意，函数f(x)在x1处取到最小值，又f(x)2axb，设f(x)0的两个根为x1，x2，则x1x20，设x10，则f(x)在(0，x2)单调递减，在(x2，)单调递增，故f(x)f(x2)，又f(x)
9、f(1)，所以x21，即2ab1，即b12a令g(x)24xln x，则g(x)，令g(x)0，得x，当0x0，g(x)在上单调递增；当x，g(x)0，g(x)在上单调递减；因为g(x)g1ln 40，故g(a)0，即24aln a2bln a0，即ln a(en12)(nN*)解(1)当a时，f(x)exx，令g(x)f(x)，则g(x)ex1，则当x(，0)时，g(x)0，f(x)单调递增所以有f(x)f(0)0，所以f(x)在(，)上单调递增(2)当x0时，f(x)exxa，令g(x)f(x)，则g(x)ex10，则f(x)单调递增，f(x)f(0)1a.当a1，即f(x)f(0)1a0时，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)0成立；当a1时，存在x0(0，)，使f(x0)0，则f(x)在(0，x0)上单调递减，则当x(0，x0)时，f(x)f(0)0，不合题意综上a1.