1、专题21 二次函数与等腰三角形存在问题1（2021江苏宿迁中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C连接AC，BC，点P在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当CAQ=CBA45时，求点P的坐标；(3)如图，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当PFH为等腰三角形时，求线段PH的长【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断ACB=90，继而可得ACO=CBA，在x轴上取点E（2，
2、0），连接CE，易得OCE是等腰直角三角形，可得OCE=45，进一步可推出ACE=CAQ，可得CEPQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若PFH为等腰三角形，则CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得，解得：，抛物线的解析式是；（2）令x=0，则y=2，即C（0，2），AB2=25，ACB=90，
3、ACO+CAO=CBA+CAO=90，ACO=CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，则CE=OE=2，OCE=45，ACE=ACO+45=CBA+45=CAQ，CEPQ，C（0，2），E（2，0），直线CE的解析式为y=-x+2，设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，直线PQ的解析式为y=-x-1，解方程组，得或，点P的坐标是（6，-7）；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，PHy轴，PHC=OCB，FPH=CGF，若PFH为等腰三角形，则CFG也为等腰三角形，C（0，2），B（4，0），直线BC的解析式为，设G（0，m），A（-1，0），直线AF
4、的解析式为y=mx+m，解方程组，得，点F的坐标是，当CG=CF时，解得：（舍去负值），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），PH=；当FG=FC时，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），PH=2-=1.5；当GF=GC时，解得或m=2（舍去），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），PH=；综上，PH=或1.5或【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图
5、象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键2（2021重庆市九年级开学考试）如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向运动，过作轴的垂线，交抛物线于点，交于（1）求点和点的坐标；（2）设当点运动了（秒时，四边形的面积为，求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（3）在线段上是否存在点，使得成为以为一腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1），；（2）；（3）存在，的坐标为或，见解析【分析】
6、（1）把代入中，解一元二次方程即可得，把代入即可得；（2）连接，设点的坐标为，写出，根据点M的运动可知，即可得；（3）若，先算出OM，则，即可得，若，可以证明，利用对应边成比例求出QM，BM的长，即可得【详解】解：（1）把代入中，则，去分母，得，二次项系数化为1 ，得，因式分解，得，于是得或，或点B在x轴的右侧，舍去，点B的坐标为；，把代入得点的坐标为；（2）如图，连接，设点的坐标为，=点运动到点上停止，；（3）存在，如图，若，所以的坐标为：；如图，若，所以的坐标为：，综上所述，的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数解析式的运用，坐标系里面积表示方法，寻找特殊三角形的条件问题及相似三角形，解题的
7、关键是熟练掌握二次函数，寻找特殊三角形的条件问题时要分类讨论3（20212022广东九年级期中）如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接（1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式（2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标（3）点是抛物线上的动点，连接，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处求当点恰好落在直线上时点的横坐标【答案】（1）a；对称轴为直线x2；A（6，0）；（2）（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，2）；（3）或【分析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；（2）分三种情况：直接利用等腰
8、三角形的性质，即可得出结论；（3）先判断出PQEPQE（AAS），得出PQPQ，EQEQ，进而得出PQn，EQQEm2，确定出点P（n2，2m），将点P的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论【详解】解：（1）抛物线ya（x6）（x2）过点C（0，2），2a（06）（02），a，抛物线的解析式为y（x6）（x2）（x2）2，抛物线的对称轴为直线x2；针对于抛物线的解析式为y（x6）（x2），令y0，则（x6）（x2）0，x2或x6，A（6，0）；（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x2，E（2，0），C（0，2），OCOE2，CEOC2，CED
9、45，CME是等腰三角形，当MEMC时，ECMCED45，CME90，M（2，2），当CECM时，MM1CM2，EM14，M1（2，4），当EMCE时，EM2EM32，M2（2，2），M3（2，2），即满足条件的点M的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，2）；（3）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y（x6）（x2）（x2）2，D（2，），令y0，则（x6）（x2）0，x6或x2，点A（6，0），设直线的解析式为，则，解得，直线AD的解析式为yx4，过点P作PQx轴于Q，过点P作PQDE于Q，EQPEQP90，由（2）知，CEDCEB45，由折叠知，EPEP，CEPCEP，PQE
10、PQE（AAS），PQPQ，EQEQ，设点P（m，n），OQm，PQn，PQn，EQQEm2，点P（n2，2m），点P在直线AD上，2m（n2）4，点P在抛物线上，n（m6）（m2），联立解得，m或，即点P的横坐标为或【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键4如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE当PCE的面积最大时，连
11、接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KMMNNK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线yx2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点F在新抛物线y的对称轴上，是否存在一点Q，使得FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx；（2）3，（3）存在，点Q的坐标为（3，），Q（3，）或（3，2）或（3，）【详解】【详解】试题解析：（1）yx2x，y（x1）（x3）A（1，0），B（3，0）当x4时，yE（4，）设直线AE的解析式为ykxb，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k，b直线AE的解
12、析式为yx（2）设直线CE的解析式为ymx，将点E的坐标代入得：4m，解得：m直线CE的解析式为yx过点P作PFy轴，交CE与点F设点P的坐标为（x，x2x），则点F（x，x），则FP（x）（x2x）x2xEPC的面积（x2x）4x2x当x2时，EPC的面积最大P（2，）如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、MK是CB的中点，k（，）点H与点K关于CP对称，点H的坐标为（，）点G与点K关于CD对称，点G（0，0）KMMNNKMHMNGN当点O、N、M、H在条直线上时，KMMNNK有最小值，最小值GHGH3.KMMNNK的最小值为3.（3）如图3所示：y经过
13、点D，y的顶点为点F，点F（3，）点G为CE的中点，G（2，）FG当FGFQ时，点Q（3，），Q（3，）当GFGQ时，点F与点Q关于y对称，点Q（3，2）当QGQF时，设点Q1的坐标为（3，a）由两点间的距离公式可知：a，解得：a点Q1的坐标为（3，）综上所述，点Q的坐标为（3，），Q（3，）或（3，2）或（3，）5（20212022重庆校九年级月考）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时
14、点的坐标（3）如图2，设抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移t秒，平移后的抛物线的顶点为，当是等腰三角形时，求t的值【答案】（1）；（2）面积的最大值为，P；（3）或0.625或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由，即可求解；（3）抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移秒，即运动了个单位，由直线的表达式知，此时点向右平移了个单位向下平移了个单位，则点，进而求解【详解】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为；（2）对于，令，解得或4，故点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，故点的坐标为，则，由点、的坐标得：直线的表达式为，设点的坐标为，则点的
15、坐标为，设四边形的面积为，则，故有最大值，当时，即四边形的面积取得最大值为，此时，点的坐标为；（3）由抛物线的表达式知，点的坐标为，抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移秒，即运动了个单位，由直线的表达式知，此时点向右平移了个单位向下平移了个单位，则点，由点、的坐标知，同理可得，当时，则，解得（不合题意的值已舍去）；当时，解得；当时，解得（不合题意的值已舍去）；故或0.625或【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系6（20212022四川南部县九年级月考
16、）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)（1）求的值和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得PAB的周长最小，并求出最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）k=3，抛物线的解析式为；（2）PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）；（3）存在，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）【分析】（1）令x=0，可得点B坐标，根据顶点坐标可设设抛物线解析式为，把点B坐标代入可求出a值，即可得抛物线解析式，令y=0可得点A坐标
17、，代入即可得k值；（2）如图连接BC，交对称轴于P，根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=1，点C坐标为（3，0），根据二次函数得对称性可得PA=PC，即可得出PA+PB=BC，可得PAB得周长的最小值为BC+AB，利用勾股定理即可得PAB周长的最小值，根据点B、C坐标，利用待定系数法可得直线BC解析式，令x=1即可得点P坐标；（3）设点Q坐标为（1，m），分QA=AB，QB=AB，QA=QB，三种情况，根据两点间距离公式求出m的值即可得答案【详解】（1）当x=0时，y=3，点B坐标为（0，3），过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)，设抛物线的解析式为，解得：,抛物线的解析式为，即，当y=0
18、时，解得：，点A在x轴负半轴，A（-1，0），C（3，0），把A（-1，0）代入得：-k+3=0，解得：k=3（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，抛物线的解析式为，对称轴为直线x=，抛物线与x轴交于点A、C，A、C关于对称轴对称，PA=PC，PA+PB=PB+PC=BC，PAB的周长的最小值为AB+BC，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），OA=1，OB=3，OC=3，AB+BC=，设直线BC的解析式为y=kx+b，解得：k=-1，直线BC的解析式为y=-x+3，当x=1时，y=-1+3=2，点P坐标为（1，2）PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）（3）设点Q坐标为（1，m），
19、A（-1，0），B（0，3），AB=，QA=，QB=，当QA=AB时，=，解得：m=，Q1（1，），Q2（1，），当QB=AB时，=，解得：m=6或m=0，直线AB的解析式为y=3x+3，x=1时，y=6，点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形，Q3（1，0），当QA=QB时，=，解得：m=1，Q4（1，1），综上所述：存在点Q，使ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数得对称性并灵活运用分类讨论得思想是解题关键7（20212022安徽九年级月考）如图
20、所示，抛物线经过点，点，与轴交于点，连接，点是线段上不与点、重合的点，过点作轴，交抛物线于点，交于点（1）求抛物线的表达式；（2）过点作，垂足为点设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），时，最大值为；（3）存在，点的坐标为或或【分析】（1）运用待定系数法将点A、B的坐标代入函数解析式即可得结果；（2）运用待定系数法求出直线BC的解析式，设，则点，点，用含m的式子表示DF的长，根据二次函数的性质解答即可；（3）分三种情况
21、讨论点E的坐标，当时，根据，求出m的值，即可求得E点的坐标；当时，连接AE，根据可求出m的值，进一步可求点E的坐标；当时，求出m的值即可求得点E的坐标【详解】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得，抛物线的表达式为：；（2）由抛物线的表达式知，点，设直线的表达式为：，则，解得：，直线的表达式为：；设点，则点，点，故，当时，有最大值为；（3）存在，理由：点、的坐标分别为、，则，过点作轴于点，当时，在中，由勾股定理得，即，解得：，（舍去），故点；当时，则，连接在中，由勾股定理得即，解得：，（舍去），则，故点；当时，即，解得：；则，故点，综上，点的坐标为或或【点睛】本题考查二次函数综合问题，
22、涉及到待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，解题的关键是明确题意，运用数形结合的思想解题8（2021重庆中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2xc（a0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OAOC（1）求该抛物线与直线AC的解析式；（2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE求ACE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1a1x2b1xc1（a0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点
23、P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）面积的最大值为，此时点的坐标为；（3）存在，点的坐标为，【分析】（1）用待定系数法即可求解抛物线与直线AC的解析式；（2）过点作，交直线AD于点M,交轴于； 过点作于.，用点E的横坐标t分别表示线段ME的长，得出ACE面积关于t的函数解析式，再利用二次函数的性质求出ACE面积的最大值及点E的坐标；（3）先求出点D的坐标及线段BD的长，再按BD为腰或底边分别求出相应的情况下点P的坐标【详解】解：（1） 与轴交于、两点, . .设直线为：，.抛物线的解析式为：，直线的解析式：.（
24、2）过点作，交直线AD于点M,交轴于； 过点作于.,四边形是矩形.设点E的坐标为：，则M的坐标为：,. . .，,当时，.点的坐标为：.当时，面积的最大值为，此时点的坐标为：（3）存在如图2，在直线AC上取一点A，使它的横坐标为1，则 ，点 即为抛物线平移后点A的对应点，可知抛物线向右、向上各平移2个单位长度，平移后的抛物线为，其顶点坐标为（3，0）；原抛物线与新抛物线都经过点B（3，0），点B即为新抛物线与原抛物线的交点F作 轴于点K，则 ， ， ， ，或（不符合题意，舍去），当 时，则点 与点D关于点A对称， ；当时， 当时,， 当时,则， ，点的坐标为：，,【点睛】本题考查二次函数的图象
25、和性质、相似三角形的判定和性质、用待定系数法求函数解析式、求函数图象的交点坐标、等腰三角形存在性问题，解题时应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用，难度较大，属于中考压轴题9（2021广东中考模拟预测）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A（2，0）和B（-8，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由【答案】（1），（2），；（3）存在
26、为或或或【分析】（1）根据待定系数法解求出函数的解析式即可；（2）设，将BCF的面积用的式子表示出来，根据二次函数的性质解出点的坐标，再根据“将军饮马”模型确定点的坐标即可；（3）分为为底边；为腰：（）：当当时，（）：当时，两种情况讨论，利用参数构建方程即可得解【详解】解：（1）将A（2，0）、B（-8，0）代入解析式：，解得，；（2）令，解得，设，代入、两点，解得，设，作垂直于轴交于如图1，则，是定值，当取得最大值时，取得最大值，当时，取得最大值，取得最大值，作关于对称轴对称得到，当、共线时，有最小值，此时有最小值，设，代入、，解得，又，综上，；（3）存在，理由如下：为底边，如图2此时在的中
27、垂线上，又在轴上，所以的中垂线与轴交点即为所求，连接，作垂直于轴，设，则，即，解得，时满足题意；为腰如图2，（）：当时，设，则，解得，当时，为，当时，为，两点均满足题意，（）：当时：由图发现：，在中垂线上，满足题意，由关于点对称得，轴，但此时、三点共线，不合题意，综上为或或或【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，线段和最值问题，等腰三角形的判定与性质；熟练地掌握二次函数的性质，会构建二次函数模型求最值，用参数构建方程，不重不漏的进行分类讨论是解决本题的关键；本题是常见中考压轴题，思维跨度较长，难度较大10（2021云南中考一模）已知抛物线的解析式为，直线的解
28、析式为（1）定义：抛物线上的点到直线距离的最小值叫做抛物线到该条直线的距离，取到直线距离最小的抛物线上的点叫做距离点求证：无论为何值，抛物线到直线的距离都是；（2）如图，若抛物线经过点和点与轴交于点过顶点作轴，垂足为，点是线段上的一点，若是以为底角的等腰三角形，求点的坐标【答案】（1）见解析；（2）或者【分析】（1）根据题干中的定义，联立抛物线和直线的解析式，求得判别式即可；（2）先通过点和点待定系数法求二次函数解析式，求得的长度，分和两种情况讨论，从而求得点的坐标【详解】（1）根据题意，联立抛物线和直线的解析式，得：，即：，整理得：，即抛物线和直线有交点，根据定义可知：无论为何值，抛物线到直
29、线的距离都是，（2）点在抛物线上，将代入，得：，解得：，轴，点是线段上的一点，设，是以为底角的等腰三角形，当时，即，解得，当时，即，解得：（舍）综合可知或者【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的的性质，待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键11（2021黑龙江建华中考二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点抛物线经过、两点，且与轴交于另一点（点在点右侧）（1）求抛物线的解析式及点坐标；（2）设该抛物线的顶点为点，则_；（3）若点是线段上一动点，过点的直线平行轴交轴于点，交抛物线于点求长的最大
30、值及点的坐标；（4）在（3）的条件下：当取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、点、点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）3；（3）的最大值为，点的坐标为；（4）存在，；【分析】（1）由直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，得A（-1，0）、C（0，-3），将A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c，列方程组求b、c的值及点B的坐标；（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，求直线BC的解析式及抛物线的顶点坐标，再求出点F的坐标，推导出SBCH=FHOB，可求出BCH的面积；（3）设点E的横坐标为x，
31、用含x的代数式表示点E、点M的坐标及线段ME的长，再根据二次函数的性质求出线段ME的最大值及点M的坐标；（4）在x轴上存在点P，使以点M、B、P为顶点的三角形是等腰三角形由（3）得D（，0），M（，-），由勾股定理求出OM=BM=，由等腰三角形PBM的腰长为或求出OP的长即可得到点P的坐标【详解】解：（1）直线y=-3x-3与x轴、y轴分别交于点A、C，当时， 当时，抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，抛物线的解析式是：当时，解得： （2）设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G设直线BC的解析式为y=kx-3，则3k-3=0，解得k=1，y=x-3；y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
32、抛物线的顶点H（1，-4），当x=1时，y=1-3=-2， F（1，-2），FH=-2-（-4）=2，故答案为：3（3）由（1）知，直线的解析式是：设，则当时，的最大值点的坐标为（4）存在，如图3，由（2）得，当ME最大时，则D（，0），M（，），DO=DB=DM=；BDM=90，OM=BM=点P1、P2、P3、P4在x轴上，当点P1与原点O重合时，则P1M=BM=，P1（0，0）；当BP2=BM=时，则OP2=，P2（，0）；当点P3与点D重合时，则P3M=P3B=，P3（，0）；当BP4=BM=时，则OP4=，P4综上所述，【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、用待定
33、系数法求函数解析式、求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法，解最后一题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标12（2020重庆巴蜀中学中考二模）如图1，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交于点，过点作于点，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，当 的周长最大时，将点沿射线的方向平移个单位至点，再将线段沿射线方向平移，点、的对应点分别记为点、在平移过程中，点、是否能构成以为腰的等腰三角形，若能，直接写出点的横坐标；若不能，请说明理由【答案】（1）；（2）周
34、长最大值为：，此时；（3）能构成等腰三角形，点的横坐标为：或或【分析】（1）利用待定系数法将、三点代入到中，即可求得a、b、c的值；（2），过点P作轴交BC于点H，利用平行线的性质可得，利用其正切值相等即可得到，利用直角三角形的性质即可得到，则可得，在中，利用的正切值，即可求得与的关系，则，设，利用直线的解析式将点H的坐标表示为，即可求得，即当时，取得最大值，最大值为，进而即可求得点P的坐标；（3）利用待定系数法求出的解析式，再由，求出的解析式，据此可以求出的坐标，过点作直线，即可得直线的解析式，设，则，由（2）可知，则可表示出和的长，进而根据和两种情况求得的值，进而即可求得的横坐标【详解】（
35、1）点、在抛物线的图像上，将点A、B、C的坐标代入得：，解得，；（2）如图3，过点P作轴交BC于点H，图3轴，又，当取最大值时，取最大值，设，设直线的解析式为：，将点B、C的坐标代入得：，解得，当时，取得最大值，最大值为，的最大值，将代入到中，得，；（3）设直线的解析式为：，点、，解得，直线的解析式为：，设，（舍去），过点作直线，直线：，设，则，由（2）可知，,当时，整理得：，解得：，点的横坐标为：；当时，整理得：，解得：，的横坐标为或，综上，的横坐标为：或或【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和一元二次函数的解析式、平行线的性质、三角函数、三角形周长、一元二次函数的性质、平移的规律、求坐
36、标系中两个点的距离等知识，解答本题的关键是正确的做出辅助线，利用平移规律，并灵活运用以上知识13（2021四川三台中考二模）如图，二次函数的图象与轴交于，与轴交于点若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；（2）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由（3）当，运动到秒时，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状，并求出点坐标【答案】（1）；（2）存在，点坐标为、或或；（3）菱形，【分析】（
37、1）根据韦达定理即可求得、的值，即可得到该二次函数的解析式，然后令，即可得到点的纵坐标，此题得解；（2）由题目已知条件可知，存在满足条件的点，根据已知条件以及第（1）问可得，分以下三种情况分别讨论即可：；，即可得到点的坐标；（3）如图2，点关于与点对称，过点作于，根据题目已知条件以及翻折的意义可知四边形为菱形；根据可得，根据相似比即可求得、的值（用表示），即可求得点的坐标（用表示），根据，即可求得点的坐标（用表示），再根据在二次函数上，即可求得的值，进而可得点的坐标【详解】（1）二次函数的图象与轴交于，该二次函数的解析式为，当时，；（2）如图1，存在满足条件的点，当点运动到点时，此时，存在以下
38、3种情况：图1当时，点坐标；，此时，点坐标；当时，设此时的坐标为，则，解得，或，或，综上所述：点坐标为、或或；（3）四边形为菱形，图2如图2，点关于与点对称，过点作于，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，平行四边形为菱形，且，又，点在二次函数上，代入解得，【点睛】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数和直线交点的求解、菱形的判定和性质、等腰三角形的性质、翻折的意义、相似三角形的判定和性质等知识点，解答本题的关键是综合利用以上知识点，利用表示出点的坐标，进行求解14（2021湖北孝南九年级期末）如图，抛物线经过点，与轴交于，两点，连接，为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点（1）直接写
39、出的值以及，的坐标_，_，_；（2）过点作，垂足为点，设点的坐标为，试求的最大值；（3）试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），(，0)，(，0)；（2）当时，的最大值是；（3）存在，点Q的坐标为(1，3)或(，)【分析】（1）把C(0，4)代入可求得的值，再解方程即可求得点A，B的坐标；（2）先求得直线BC的解析式为，由M (，0)，则P(，)，点Q的坐标为(，)，再求得PQ+2PN=2PQ，利用二次函数的性质即可求解；（3）分AC=CQ，AC=AQ，CQ=AQ三种情况讨论，利用两点之间的距离公
40、式即可求解【详解】解：（1）抛物线经过点C(0，4)，解得，抛物线的解析式为，令，得，解得，点A，B的坐标分别为(，0)，(，0)，故答案为：，(，0)，(，0)；（2）B (，0)，C(0，4)，OB=OC=4，轴，轴，又，M (，0)，则P(，)，设直线BC的解析式为，解得，直线BC的解析式为，点Q的坐标为(，)，PQ=，PQ+2PN=2PQ=，当时，PQ+2PN的最大值为；（3）存在，理由如下：A(，0)，C(0，4)，Q(，) ()，当AC=CQ时，解得：(舍去)；当AC=AQ时，解得：(舍去)；当CQ=AQ时， ，解得：(舍去)；综上所述，点Q的坐标为(1，3)或(，)【点睛】本题考
41、查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识解答本题时要注意方程思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用15（2021安徽淮南实验中学九年级月考）如图，已知直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 （2）求抛物线的解析式；直线AB与抛物线的对称轴交于点E，在x轴上是否存在点M，使得ME+MB最小，求出点M的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、
42、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值【答案】（1）（3，0），（0，3）；（2）yx22x+3；存在点M，；（3）t为3，4，4秒【分析】（1）yx+3，令x0，则y3，令y0，则x3，即可求解；（2）B的坐标为：（0，3），故c3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b2，即可求解；函数的对称轴为：x1，点E（1，2），点B（0，3），作点B关于x轴的对称点B（0，3），连接EB交x轴于点M，则点M为所求，即可求解；（3）分PCPB、BCPC、BCPB，三种情况，分别求解即可【详解】解：（1）yx+3，令x0，则y3，令y0，则x3，故点A、B的坐标分别为：（3，0），（
43、0，3）；故答案为：（3，0），（0，3）；（2）B的坐标为：（0，3），将点A的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：b2，抛物线的解析式为yx22x+3；函数的对称轴为：x1，点E（1，2）点B（0，3），作点B关于x轴的对称点B（0，3），连接E B交x轴于点M，则点M为所求，则直线BE的表达式为：y5x3，当y0时，x ，故点；（3）令yx22x+3中y0，则x22x+3（x1）（x+3）0，解得：x1或x3，C（1，0）yx22x+3（x+1）2+4，D（1，4），B（0，3），PC2（11）2+（4t）2t28t+20，PB2（1）2+（4t3）2t22t+2，BC212+3210当PCPB时，即t28t+20t22t+2解得：t3；当BCPC时，同理可得：t4；当BCPB时，同理可得：t4或2（舍去负值）综上可知：当t为3或4或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及勾股定理等，解题关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及勾股定理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
