1、49第10章规律问题之算式变化类一、单选题1a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：3的差倒数是，的差倒数是已知，是的整倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，则为（ ）A2B1CD【答案】A【分析】可根据差倒数的定义依次计算出a2、a3、a4，即可发现每3个数为一个循环，然后用2020除以3，即可得出答案【解答】解：已知，a1的差倒数；a2的差倒数；a3的差倒数；依此类推，2020被3除，结果为2020=3673+1，被3除余1，所以，a2020=a1=2故选：A【点评】本题考查用代数式表示的新定义下，规律探索问题，关键是通过部分的有理数运算后，发现规律22020减去它的，再减去余下的，
2、再减去余下的，.依此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（）AB1CD0【答案】B【分析】根据题意，可列式2020（1）（1）（1）（1），先算括号里的减法，再约分即可【解答】解：2020（1）（1）（1）（1）20201故选：B【点评】此题考查有理数的混合运算，首先要根据题意列式，总结规律是解题的关键3（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1的计算结果的个位数字是（）A8B6C4D2【答案】B【分析】原式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结即可确定出结果的个位数字【解答】解：原式（21）（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）+1（221）（22+1
3、）（24+1）（216+1）+1（241）（24+1）（216+1）+12321+1232，212，224，238，2416，2532，其结果个位数以2，4，8，6循环，3248，原式计算结果的个位数字为6，故选：B【点评】本题主要考查了平方差公式的应用，准确计算是解题的关键4一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，依此规律跳下去，当它第2019次落下时，落点表示的数是（ ）A2019B2020C-2020D1010【答案】B【分析】设向右跳动为正，向左跳动为负，根据题意把所有的数字相加即可得到结果；【
4、解答】解：设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得 ，故选：B【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，准确计算是解题的关键5如图为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，例如：，那么展开式中前四项的系数分别为（ ）A1，5，6，8B1，5，6，10C1，6，15，18D1，6，15，20【答案】D【分析】由（a+b）=a+b，可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，由此可得的各项系数依次为1、4、6、4、1；的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此的系数分别为1、6、15、20、15、6、1【解答】解：由
5、杨辉三角系数表可以发现：展开式中各项的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的展开式中相邻两项系数的和，则展开式的各项系数依次为1,4,6,4,1；展开式的各项系数依次为1,5,10,10,5,1；则展开式的各项系数依次为1,6,15,20,15,6,1，前四项的系数分别为1,6,15,20故选D【点评】本题考查了与完全平方公式相关的系数类的变化规律，读懂题意并根据所给的式子寻找系数之间的规律，是快速解题的关键6观察式子：，根据你发现的规律，计算的结果是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据题意找到规律：即可求解【解答】，【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，规律型数字变化类此题将求的值的
6、问题运用规律转化为求的问题是解题的关键7已知的面积为，连接各边中点构成第一个三角形，再连接这个新三角形的各边中点得到第2个三角形依此类推，则第100个三角形的面积为（ ）ABCD【答案】C【分析】利用相似三角形性质先求出第一个三角形面积2，再求第二个三角形依次为，2-2n+3，然后求出当n=100即可【解答】如图所示：点D、E、F是ABC各边的中点，DEBC，且DE=BC,同理EF=AB，DF=AC，ABCFED，SABC：SFED=AB2：EF2=4：1，SABC=8cm2，SFED= SABC =2，称为S1，由此S2=S1=2=，S3=2=21, =2-1,=2-32-2n+3，当n=1
7、00时，S100=2-197=故选：C【点评】本题考查相似三角形各边中点围成的三角形面积，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键8已知，则（ ）A2020B4039C6060D8079【答案】C【分析】先由已知等式,得出规律:,则,将代入,即可求出结果【解答】解：时,故选:C【点评】此题主要考查了规律型:数字的变化类及有理数的混合运算,解题时首先观察,分析归纳出题目中隐含的规律,然后利用规律把题目变形,从而使计算变得比较简便9计算：的结果是（ ）ABCD【答案】B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案【解答】解：原式= = =故选：B【点评】本题考查了
8、多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键10下面是按一定规律排列的一列数：第 个数：；第 个数：；第 个数：；第 个数：；那么在第 个数、第 个数、第 个数、第 个数中，最大的数是( )A第 个数B第 个数C第 个数D第 个数【答案】A【分析】根据有理数的计算，计算第1个数、第2个数、第3个数等，总结第n个数的规律即可得出答案【解答】解：第 个数：；第 个数：；第 个数：；第 个数：；n越大，第n个数越小故选：A【点评】本题考查有理数的计算，掌握数的规律是解题的关键二、填空题11有一组单项式依次为，根据它们的规律，第个单项式为_【答案】【分析】根据它们
9、的规律得出第n个单项式为，据此可得答案【解答】解：一组单项式依次为：，根据它们的规律，第n个单项式为：，第8个单项式为，故答案为：【点评】本题考查了规律型数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律12有一组多项式：，.，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n个多项式为_【答案】【分析】由题意可观察出规律为：b的指数是a的指数的两倍，奇数为和，偶数为差，由此可得第n个多项式【解答】解：第1个多项式为：，第2个多项式为：，第3个多项式为：，第4个多项式为：，第n个多项式为：；故答案为【点评】本题主要考查整式的规律，关键是根据题目所给规律能用整式进行概括即可13探索规律并填空：，_【
10、答案】【分析】由等式可以看出：分子是1，分母是连续两个自然数的乘积，结果等于分子是1，分母是这两个自然数的分数差由此规律得出答案即可【解答】根据题意得：故答案为：【点评】本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题14一列单项式按以下规律排列，第2020个单项式为_1，-3x，5x2，-7x3，9x4，-11x5【答案】【分析】可从三方面观察，一是符号的变化，二是单项式系数的绝对值变化规律，三是单项式次数变化，从观察中找到规律得出答案【解答】单项式系数排列规律：1，-3,5，-7,9，-11从符号看，一正一负重复，第2020个单项式符号为“-”； 单项式系数的绝对值逐个递
11、增2，第2020个单项式绝对值是：；从单项式的次数观察发现，递增1，第2020个单项式次数为2019；故答案为：【点评】本题考查单项式的规律问题，从单项式的系数、次数分析排列规律是解题关键15计算：_【答案】【分析】通过计算每四项运算结果可知，每四项结果为，20124=503，正好为4的倍数，从而得出结论【解答】，即每四项结果为，20124=503，故答案为：【点评】本题考查了规律型数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是：发现每四项结果相同且为16已知S1a+1（a不取0和1），S2，S3，S4，按此规律，请用含a的代数式表示S2020_【答案】a+1【分析】先根据题意计算S2、S3、S
12、4，进而可得规律，再根据规律解答即可【解答】解：S1a+1（a不取0和1），S2，S3，S4，上述规律是每3个一次循环，20203=6731，S2020a+1故答案为：a+1【点评】本题考查了代数式的变化规律和分式的运算，属于常考题型，找准规律、熟练掌握分式的化简方法是解题的关键17请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：（1）根据前面各式的规律，则_（2）请计算的展开式中第三项的系数是_【答案】 190 【分析】（1）观察可知展开式的a的次数从6（最高次幂）依次下降至0，b的次数从0上升至6（最高次幂），系数和左边杨辉三角对应行的数字依次相同；（2）根据图形中的规律即可求出（a+b）20的
13、展开式中第三项的系数【解答】解：（1）杨辉三角第6行对应的数字为1，5,10,10,5,1，第7行对应的数字为1,6,15,20,15,6,1，所以，（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（2）找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+（n-2）+（n-1），（a+b）20第三项系数为1+2+3+19=190，故答案为：1
14、90【点评】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和18已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，1的差倒数是如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是_【答案】【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，依次循环，用2020除以3，再根据余数可求的值【解答】解：，这个数列以，依次循环，的值是故答案是：【点评】本题考查了数字的变化类，弄清题意，正确得出规律是解题的关键19取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1：这个结论在数学上还没有
15、得到证明但举例验证都是正确的例如：取自然数5经过下面5步运算可得1，即：如图所示如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值是_【答案】128、21、20、3【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可【解答】根据分析，可得：则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3故答案为：128、21、20、3【点评】本题主要考查了规律数字的变换类，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律20现有一列数m1，m2，m3，m2020，其中m1-3，
16、m2-1，且mn+mn+1+mn+21(n为正整数)，则m1+m2+m3+m2020=_【答案】670【分析】先求出的值，再归纳类推出一般规律，从而求出的值，然后根据代入求值即可得【解答】，当时，即，解得，当时，即，解得，归纳类推得：的值是以循环往复的，的值与的值相等，即为，则，故答案为：670【点评】本题考查了代数式求值，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键三、解答题21观察下列计算，并回答下列问题，（1）第5个式子是_；（2）第个式子是_；（3）从计算结果中找规律，利用规律计算：【答案】（1）；（2）；（3）【分析】根据前4个式子的规律，即可得到第5个式子和第n个式子；结合（2）的结
17、论，将分数乘法变形为减法的形式，通过加减运算即可得到答案【解答】（1）第5个式子是；（2）第个式子是（3）从计算结果中找规律，利用规律计算原式=【点评】本题考查了整式和数字规律探索的知识；解题的关键是熟练掌握整式运算的性质，并且从等式运算中找到规律，通过计算即可得到答案22我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百股好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛（规律探索）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼成长方形：第（1）个图形中有2张正方形纸片：第（2）个图形中有张正方形纸片；第（3）个图形中有张正方形纸片；第（4）个图形中有张正方形纸片；请你观察上述图形与算
18、式，完成下列问题：（规律归纳）（1）第（7）个图形中有_张正方形纸片（直接写出结果）；（2）根据前面的发现我们可以猜想：_（用含的代数式表示）；（规律应用）（3）根据你的发现计算：；【答案】（1）56；（2）；（3）1001000；80200【分析】（1）根据前四个图形的排列规律，第七个图形有2(1+2+3+4+5+6+7)张正方形纸片，计算得出答案（2）根据前面的发现，可以写成：的形式，化简计算得出答案（3）直接用发现的规律代入计算求解；运用添项法，原式加上(2+4+6+200)然后再减去，计算结果不变；原式可变为：(2+4+6+600)-(2+4+6+200)，运用发现的规律计算求解【解答
19、】解：（1）由题意观察可得：2(1+2+3+4+5+6+7=56，故答案为56；（2）故答案为；（3）原式【点评】本题考查图形的变化规律和用代数式表示数，通过观察发现规律、运用规律是解题关键23观察下列等式：； 请解答下列问题:（1）按以上规律可得_=_（其中为正整数）；_=_（其中为正整数）（2）求的值（3）求的值【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先发现，分子都是1，分母是连续两个自然数的乘积，计算的结果就是以这两个自然数为分母，分子是1的两个分数的差；（2）利用规律把（2）中的分数拆成两个分数的差，把互为相反数的互相抵消，得出答案即可；（3）运用变化规律裂项计算即可得【解答】解
20、：（1）由题可知：（2）（3）【点评】本题考查了寻找数字的规律及运用规律计算寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系24观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；解答下列问题：（1）按以上规律写出第5个等式：=（2）求的值（3）求的值【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）分子是1，分母是两个连续奇数的乘积，等于分子是1，两个连续数为分母的分数差，由此规律解决；（2）利用发现的规律拆项相互抵消计算即可（3）模仿发现的规律拆项相互抵消计算即可【解答】解：（1）第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；故答案为
21、：；（2）；（3）【点评】此题考查数字的变化规律，找出算式之间的联系，发现规律解决问题25实践与探索如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）上述操作能验证的等式是_；（请选择正确的一个）A B C（2）请应用这个公式完成下列各题：已知，则_计算：【答案】（1）A；（2）4；5050【分析】（1）图1表示，图2的面积表示，根据两个图形阴影面积相等即可判断；（2）将原式变形为，代入即可求解；将原式每两项应用平方差公式进行变型，然后即可求解【解答】（1）图1表示，图2的面积表示，两个图形阴影面积相等，得到故选A ；（2），解得原式=（100
22、2-992）+（982-972）+（42-32）+（22-12）=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1） =100+99+98+97+4+3+2+1=10150=5050【点评】本题考查了平方差公式的几何证明，题目较为简单，需要利用正方形和长方形的面积进行变形求解26观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：_；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：_（n为正整数）；（3）求的值（4）求的值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据前面4
23、个等式找到规律即可得出第5个等式；（2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的，由此得出答案即可；（3）依照上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；（4）模仿上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；【解答】解：（1）故答案为：；（2），故答案为：；（3） ；（4）【点评】本题考查数字的变化规律找出数字之间的运算规律，利用运算规律解决问题，找出数字之间的规律是解题的关键27阅读材料：求的值解：设，将等式的两边同乘以2，得将下式减去上式得，即即请你仿照此法计算：（1）填空：（2）求的值（3）求的值（其中n为正整数）【答案】（1）1
24、5；（2）2047；（3）【分析】（1）根据题目中材料的信息可以解答本题；（2）根据题目中的材料信息可以计算出题目中所求式子的结果；（3）根据题意，仿照例题极大过程结合本题数据，进行灵活变形可以解答【解答】解：（1）由题意可得，1+2+22+23=24-1=16-1=15，故答案为：15；（2）由题意可得， ；（3）设，则，解得，即的值是【点评】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出数字的变化特点28填空：=_.=_.=_. （1）根据上面的规律得:=_（其中为正整数，且）.（2）当时，计算：=_；（3）设，则的个位数字为_；（4）计算：.【答案】（1）xn+11；（2）320181
25、；（3）3；（4）【分析】（1）根据已知的等式发现规律即可求解；（2）将x=3代入（1）中规律式子中求解即可；（3）先求出x=2时的a值，再发现2的乘方的个位数字变化规律，即可求解a的个位数字；（4）已知等式运算规律可构造（51）（）即可求解【解答】解：填空：= x21. x31=x41.= x51. （1）根据上面的规律得:= xn+11，故答案为：xn+11；（2）当x=3时，=320181，故答案为：320181；（3）=（21）（=220181，21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，2n的个位数字是按2、4、8、6依次4个4个循环出现，2018
26、4=5042，22018的个位数字是4，220181的个位数字是3，故答案为：3；（4）=（51）5（）=（520201）=【点评】本题考查等式的规律探究及应用、平方差公式、整式的乘法、有理数的乘方，解答的关键是根据已知等式找到规律并会变形灵活运用29先观察下列等式，再回答问题： （1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想的结果：（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：（3）对任何实数a可a表示不超过a的最大整数，如，计算：的值【答案】（1）；（2）；（3）99【分析】（1）利用前面三个等式的规律求解；（2）利用前面三个等式的规律求解；（3）根据（2）中结论得到，然后再求
27、出最大整数即可【解答】解：（1）猜想；（2）第n个式子为：；（3）= =99【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行二次根式的计算30研究下列算式，你会发现什么规律？填空：请你将上述找出的规律用含有字母（为正整数）的等式表示出来【答案】5，7，17；（其中n为整数）【分析】研究给定算式左边每一项可得出：第一个因数为4，第二个因数从1开始每次增加1，第三个因数从2开始每次增加1，最后的加数为1；再研究给定算式的右边可发现右边为二、三两个因数和的平方，结合该规律，将第二个因数换成n即可得出结论【解答】解：由给定算式发现：第一个因数为4，第二个因数从1开始每次增加1，第三个因数从2开始每次增加1，最后的加数为1，等式右边为二、三两个因数和的平方因为11=5+6，所以，故答案为：5；因为13=6+7，所以，故答案为：7；因为8+9=17，所以，故答案为：17故答案分别为：5，7，17由已知可得：4 n （n+1）+1 =（n+n+1）2=（2n+1）2【点评】本题考查了数字的变化，解题的关键是发现其中的变化规律本题属于中档题，解决该类型题目时，仔细观察并寻找不同点及相同点即可找出规律
