1、第2课时 圆的参数方程1圆的参数方程(1)圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程是_(为参数)参 数 的 几 何 意 义 是 OM0 绕 点 O_旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度，如下图它的普通方程为_xrcos，yrsin 逆时针 x2y2r2 (2)圆心在点(a，b)，半径为r的圆的参数方程是_(为参数)它的普通方程为_xarcos，ybrsin(xa)2(yb)2r21下列参数方程表示圆的方程的是()Axtcos，ytsin(t 为参数)Bxtcos，ytsin(为参数，t0)Cxtcos 2，ytsin 2(t 为参数)Dxtcos，ytsin 2(为参数，t0)【答案】
2、B【解析】圆心在原点的圆的参数方程为xrcos，yrsin(为参数)，r 为半径，为参数2 直 线 y ax b 通 过 第 一、二、四 象 限，则 圆xarcos，ybrsin(为参数)的圆心位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】直线yaxb通过第一、二、四象限可得a0，b0，所以圆的圆心(a，b)位于第二象限3.(2018 年兰州双基训练)把圆 x2y22x4y10 化为参数方程为 .【答案】(为参数)【解析】圆 x2y22x4y10 的标准方程是(x1)2(y 2)2 4，圆 心 为(1，2)，半 径 为 2，故 参 数 方 程 为(为参数).4已知直线
3、l 的极坐标方程为 sin3 6，圆 C 的参数方程为x10cos，y10sin(为参数)(1)化圆的方程为普通方程；(2)求直线被圆截得的弦长【解析】(1)由圆的参数方程可得圆心为(0,0)，半径为 10，所以圆的普通方程为 x2y2100(2)直线方程可化为 sin cos3cos sin3 6，得12sin 32 cos 6普通方程为12y 32 x6，即 3xy120.圆 C 的圆心为(0,0)，半径为 10，圆心到直线的距离为|12|316，则弦长为2 1026216【例 1】设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆做匀角速运动，角速度为 60 rad/s，试以时间 t 为参数，建立质
4、点运动轨迹的参数方程【解题探究】设出质点的坐标，将其分别用某个参数表示出即可参数方程及其求法【解析】如下图，在运动开始时，质点位于点 A 处，此时 t0.设动点 M(x，y)对应时刻为 t，由图可知x2cos，y2sin.又 60 t，得 参 数 方 程 为x2cos 60t，y2sin 60t(t0 且 t 为参数)选取的参数不同，圆有不同的参数方程，本题中的参数也有明确的物理意义，为质点做匀角速圆周运动的时刻1经过原点作圆x22axy20的弦，求这些弦的中点的轨迹方程【解析】设 OQ 是经过原点的任意一条弦，OQ 的中点是 M(x，y)，设弦 OQ 和 x 轴的夹角为，取 作为参数，已知圆
5、的圆心是O(a,0)，连接 OM，那么 OMOQ 过点M作MM OO，那 么|OM|acos ，所 以x|OM|OM|cos acos2，y|MM|OM|sin acos sin (为参数)，这就是所求轨迹的参数方程【例 2】说明参数方程x14cos t，y24sin t0t2 表示什么曲线？【解题探究】化为普通方程后，可通过作图得出其轨迹，要注意参数的取值范围参数方程的意义【解析】由题得x14cos t，y24sin t，得普通方程为(x1)2(y2)216.0t2，0sin t1，0cos t1.1x5，2y2.其普通方程为(x1)2(y2)216(1x5，2y2)作出其图形，得方程表示的
6、曲线是14个圆，圆心为(1，2)，半径为 4，如图参数方程在化为普通方程的过程中，一定要注意参数的取值范围，得出普通方程中的x，y的范围，从而正确得出方程所表示的轨迹2曲线x1cos，y2sin(为参数)的对称中心()A在直线 y2x 上 B在直线 y2x 上C在直线 yx1 上 D在直线 yx1 上【答案】B【解析】曲线x1cos，y2sin(为参数)表示圆，圆心为(1,2)，在直线 y2x 上，故选 B【例3】已知x，y满足x2y21，求Sxy的最值【解题探究】由图形不易找出所求的最值，可考虑利用参数方程，将其化为三角函数形式求最值参数方程的应用【解析】由 x2y21 可知曲线表示以(0,
7、0)为圆心，半径等于 1 的圆令xcos，ysin(为参数)，则 Sxycos sin 222 cos 22 sin 2cos4，当 cos4 1 时，S 有最大值 Smax 2；当 cos4 1 时，S 有最小值 Smin 2利用参数方程转化为三角函数形式，利用三角函数的有界性求出最值，是比较常用的方法3已知实数x，y满足(x1)2(y1)29，求x2y2的最大值和最小值【解析】由已知，可设点(x，y)为圆(x1)2(y1)29 上的点，则有x13cos，y13sin(为参数)而 x2y2(13cos)2(13sin)2116(sin cos)116 2sin4 1sin4 1，116 2x2y2116 2x2y2 的最大值为 116 2，最小值为 116 2.1圆的参数方程化为普通方程，通常利用 sin2cos21进行消参2方程互化过程中要使变量范围保持一致，即等价转化3利用参数方程，将问题转化为三角函数形式，可利用三角函数的有界性求最值4在利用xrcos，yrsin(为参数)研究圆的问题时，圆上的点的坐标可设为(rcos，rsin)