1、6 圆和圆的位置关系 1.理解两圆位置与两圆圆心距、半径的联系.(重点)2.相切两圆的性质.(重点、难点)1.圆和圆的位置关系 位置 相离 相切 相交 外离 内含 外切 内切 图例 位置 相离 相切 相交 外离 内含 外切 内切 公共点 个数 _ _ _ _ _ d与R和 r的关系 d_R+r 0dr)d_R+r d_R-r(Rr)_ dr)0 0 1 1 2 =R-r R+r 2.相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过_.3.相交两圆的性质：相交两圆的连心线_两圆的公共 弦.切点 垂直平分 (打“”或“”)(1)两个同心圆的位置关系是内含.()(2)两圆相切时，组成的图形是轴对称图形，对称轴是
2、两个圆 心的连线.()(3)若两圆相切，O1的半径为3，圆心距O1O25,则O2的半 径为2.()(4)已知O1，O2的半径是r12，r24，圆心距d5，则 这两圆的位置关系是相交.()(5)相交两圆是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线.()知识点 1 圆和圆的位置关系【例1】(2013巴中中考)若O1和O2的圆心距为4，两圆半 径分别为r1,r2，且r1,r2是方程组 的解，求r1,r2的值，并判断两圆的位置关系.【思路点拨】首先由r1,r2是方程组 的解，解此方程 组；又由O1和O2的圆心距为4，根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径r1，r2的数量关系间的联系得出两圆位置关系.1212r2r
3、6,3r5r71212r2r6,3r5r7【自主解答】得 由题意得O1O2=4.4-1O1O24+1,两圆相交.1212r2r6,3r5r7,12r4,r1,【总结提升】圆和圆的位置关系的判定方法及注意事项 1.两种判定(1)公共点：根据公共点的个数进行判断，分三种情况，交点个数为0，1，2.(2)数量关系：根据两圆的半径R和r，圆心距d之间的数量关系进行判断.2.四点注意(1)两圆的五种位置关系根据公共点个数可分为三大类，即相离、相切、相交.(2)两圆相切包含两种情况，即两圆外切和内切.(3)两圆相离也包含两种情况，即两圆外离和内含.(4)同心圆是两圆内含的特殊情况.知识点 2 圆和圆的位置
4、关系的性质应用【例2】已知O1与O2相交于A,B两点,点O1在O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与O1交于另一点D.(1)如图1,若AC是O2的直径,求证：ACCD.(2)如图2,若C是O1外一点,求证：O1CAD.【解题探究】(1)AC是O2的直径，根据直径所对的圆周角 等于_，所以可作的辅助线为连接AB，CO1.由此可知 AO1C=_=_.所以AD是O1的直径.90 ABD 90 由可知，CO1AD，AO1=DO1，如何证明AC=CD?提示：CO1AD,AO1C=DO1C=90,又AO1=DO1，CO1=CO1，AO1CDO1C，AC=DC.(2)连接AB，O1B,O
5、1O2,O1O2交AB于点G.根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦,可得O1 O2AB,即AGO1=_,_+BAO1=90,根据同弧所对的圆周角相等可得O1AB=_,90 AO1O2 C 又因为AO1=BO1,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得 根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角 的一半,可得 C+D=90,O1CAD.121AO O_.21AO B121D_AO O,2 1AO B【互动探究】如图,若C是O1内的一点,(1)和(2)中的结论是否成立?提示：成立.【总结提升】两圆相交及相切中辅助线的作法 1.相切两圆的问题,一般作辅助线连心线,结合直线与圆相切的性质构
6、造直角三角形,应用勾股定理构建方程求解.2.两圆相交,公共弦是架起两圆的“桥梁”.常作出连心线、公共弦或连接交点与圆心,从而把半径、公共弦长的一半、圆心距集中到一个直角三角形中,可用直角三角形的知识来解决.题组一：圆和圆的位置关系 1.奥运会旗图案由五个圆环组成，如图是一幅五环图案，在这 五个圆中，不存在的位置关系是()A.外离 B.内切 C.外切 D.相交【解析】选B.观察图形可知两圆存在的关系有：外切、相交、外离 2(2013南京中考)如图，圆O1，圆O2的圆心O1，O2在直线l上，圆O1 的半径为2 cm，圆O2的半径为3 cm，O1O2=8 cm.圆O1以1 cm/s的速度沿直线l向右
7、运动，7 s后停止运动，在此过程中，圆O1与圆O2没有出现的位置关系是()A.外切 B.相交 C.内切 D.内含【解析】选D.因为当O1以1 cm/s的速度沿直线向右运动7 s后停止，这时O1，O2圆心距最小是8-7=1(cm)，O2的半径-O1的半径=3-2=1(cm)，圆心距等于两圆半径的差，这时两圆的位置关系是内切，两圆的圆心距不可能小于1 cm，即没有出现内含的情况.3.已知两圆半径r1，r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的 圆心距为7，则两圆的位置关系是_.【解析】x2-7x+10=0，(x-2)(x-5)=0，x1=2，x2=5，即两圆半径分别是2，5，又2+5=7，两
8、圆的圆心距为7，两圆的位置关系是外切.答案：外切 4.(2013毕节中考)已知O1与O2的半径分别是a,b，且a，b满足 圆心距O1O2=5,则两圆的位置关系是_.【解析】由 得a=2,b=3.O1和O2的半径分别为2和3，圆心距O1O2=5，O1O2=2+3=5，两圆外切 答案：外切 a23b0，a23b0，5.在平面直角坐标系中，O的圆心在原点，半径为3，A的 圆心A的坐标为 半径为1，试判断O与A的位置关系.【解析】如图所示,连接OA,过A点作ABx轴,垂足为B,A的坐标为 半径为1,AB=1,在RtABO中,OA2=OB2+AB2=4,OA=2=3-1,O与A的位置关系是内切.31，(
9、3,1),题组二：圆和圆的位置关系的性质应用 1.半径为1,2,3的三圆两两外切，则以这三个圆的圆心为顶点的三角形的形状是()A.钝角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.直角三角形【解析】选D.半径分别为1，2，3的三个圆两两外切，则有(1+2)2+(1+3)2=(2+3)2，由勾股定理的逆定理知，以三个圆的圆心为顶点的三角形的形状为直角三角形.2.已知两个等圆O1和O2相交于A,B两点，且O1经过点O2，则四边形O1AO2B是()A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【解析】选B.如图，两个等圆O1和O2相交于A，B两点，且O1经过点O2，O1也在O2上，O1A=O2A=O2
10、B=O1B，四边形O1AO2B是菱形 3.如图，分别以A,B为圆心，线段AB的 长为半径的两个圆相交于C,D两点，则CAD的度数为_.【解析】连接BC,BD，由题意得ABC和ABD都是等边三角形，所以CAD=CAB+BAD=120.答案：120 4.(2012潜江中考)平面直角坐标系中，M的圆心坐标为(0，2)，半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的N与M相切，则圆心N的坐标为_.【解析】M与N外切，MN=4+1=5，圆心N的坐标为 M与N内切，MN=4-1=3，圆心N的坐标为 答案：22ONMNOM21，21 0，；22MNOM5，5 0.，(21 0)(5 0)，或，5.在ABC中，AB=5 cm，BC=8 cm，AC=7 cm，分别以A,B,C为圆心，画三个圆，使它们两两外切，求A，B，C的半径各是多少？【解析】设A，B，C的半径分别为x cm,y cm,z cm，由题意得：2(x+y+z)=20,x+y+z=10,同时x+y=5，x+z=7，y+z=8，x=2，y=3,z=5.即A,B,C的半径分别为2 cm,3 cm,5 cm.【想一想错在哪？】已知O1的半径为15，O2的半径为13，O1,O2交于A，B两点，且AB=24,求两圆的圆心距O1O2.提示：两圆相交时，公共弦与圆心的位置有两种，易漏掉“两圆心在公共弦同侧”这种情况.