1、考点突破夯基释疑第 6 讲 双曲线 概要课堂小结考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3考点四例 4训练4结束放映返回目录第2页 夯基释疑判断正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8的点的轨迹是双曲线()(2)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()(3)双曲线方程x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()结束放映返回目录第3页 考点突破解析(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B 根据两
2、圆外切的条件,得|MC1|AC1|MA|,|MC2|BC2|MB|,因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.考点一 双曲线的定义及应用【例 1】(1)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_(2)见下一页故点 M 的轨迹方程为 x2y281(x1)利用双曲线的定义结束
3、放映返回目录第4页 考点突破(2)设P在双曲线的右支上，|PF2|x(x0)，|PF1|2x，因为PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，考点一 双曲线的定义及应用【例 1】(2)已知双曲线 x2y21，点 F1，F2 为其两个焦点，点 P为双曲线上一点，若 PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_所以 x 31，x2 31，利用双曲线的定义所以|PF2|PF1|2 3.答案(1)x2y281(x1)(2)2 3结束放映返回目录第5页 考点突破规律方法 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利
4、用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系 考点一 双曲线的定义及应用结束放映返回目录第6页 考点突破【训练 1】(1)(2014大连模拟)设 P 是双曲线x216y2201 上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|()A1 B17C1 或 17 D以上答案均不对(2)已知 F 是双曲线x24 y2121 的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A5 B54 3C7 D9考点一 双曲线的定义及应用解析(1)由双曲线定义|PF1|PF2|8，又|PF1|9，|PF
5、2|1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca6421，|PF2|17.结束放映返回目录第7页 考点突破【训练 1】(1)(2014大连模拟)设 P 是双曲线x216y2201 上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|()A1 B17C1 或 17 D以上答案均不对(2)已知 F 是双曲线x24 y2121 的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A5 B54 3C7 D9考点一 双曲线的定义及应用(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4，0)由双曲线的定义及标准方程得|PF|PE|4，则|PF|PA
6、|4|PE|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|PA|)min|AE|5，从而|PF|PA|的最小值为9.答案(1)B(2)D 结束放映返回目录第8页 考点突破考点二 双曲线的标准方程【例 2】(1)(2014天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为()Ax25 y2201 Bx220y251C3x225 3y21001 D3x21003y2251(2)见下一页解析(1)由题意知，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线为 y2x，所以ba2，即 b24a2.联立得b24a
7、2，a2b225，故双曲线的方程为x25 y2201.又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点，所以该焦点的坐标为(5，0)，所以c5，即a2b225，解得a25，b220，结束放映返回目录第9页 考点突破考点二 双曲线的标准方程【例 2】(1)(2014天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为()Ax25 y2201 Bx220y251C3x225 3y21001 D3x21003y2251(2)见下一页(2)设双曲线的方程为 x227y2361(2736)，由于双曲线过点(15，4)，解得132，
8、20.经检验132，20都是分式方程的根，故 1527 16361，结束放映返回目录第10页 考点突破考点二 双曲线的标准方程【例 2】(1)(2014天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为()Ax25 y2201 Bx220y251C3x225 3y21001 D3x21003y2251(2)见下一页故所求双曲线的方程为y24x25 1.答案(1)A(2)y24x25 1但0不符合题意，应舍去，所以32.深度思考本例第(2)题可采用三种解法，为了更好地掌握双曲线的定义及标准方程，建议同学们这三种
9、方法都要试一试结束放映返回目录第11页 考点突破考点二 双曲线的标准方程规律方法待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x2a2y2b2(0)，再由条件求出 的值即可结束放映返回目录第12页 考点突破【训练 2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为 12，离心率为54；(2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)；(3)经过两点 P(3，2 7)和 Q(6 2，7)考点二 双曲线的标准方程解(1)设双曲
10、线的标准方程为 x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)由题意知，2b12，eca54.双曲线的标准方程为x264y2361或y264x2361.b6，c10，a8.又c2a2b2，结束放映返回目录第13页 考点突破(2)双曲线经过点M(0，12)，M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.【训练 2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为 12，离心率为54；(2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)；(3)经过两点 P(3，2 7)和 Q(6 2，7)双曲线的标准方程为 y2144x2251.考点二 双曲线的
11、标准方程结束放映返回目录第14页 考点突破(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)【训练 2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为 12，离心率为54；(2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)；(3)经过两点 P(3，2 7)和 Q(6 2，7)9m28n1，72m49n1，考点二 双曲线的标准方程解得m 175，n 125.双曲线的标准方程为y225x2751.结束放映返回目录第15页 考点突破考点三 双曲线的几何性质【例 3】(1)设 F1，F2 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满足|P F2|F1F2|，且 F2到直
12、线 P F2 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A3x4y0 B3x5y0C4x3y0D5x3y0(2)见下一页在 RtF1F2 M 中，|F1 M|(2c)2(2a)22b，故双曲线的渐近线方程是 ybax，即 4x3y0解析(1)设P F1中点为M，由|P F2|F1F2|，故F2MP F1，即|F2 M|2a，故|F2 P|4b，根据双曲线的定义4b2c2a，即2bac，即(2ba)2a2b2，即3b24ab0，即3 b4 a，结束放映返回目录第16页 考点突破考点三 双曲线的几何性质【例 3】(2)(2014浙江卷)设直线 x3ym0(m0)与双曲线x2a2y2b21(
13、a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B若点 P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_(2)由x3ym0，ybax，得点 A 的坐标为am3ba，bm3ba，由x3ym0，ybax，得点 B 的坐标为am3ba，bm3ba，则 AB 的中点 C 的坐标为a2m9b2a2，3b2m9b2a2，结束放映返回目录第17页 考点突破考点三 双曲线的几何性质【例 3】(2)(2014浙江卷)设直线 x3ym0(m0)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B若点 P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_kAB13，kCP3b2m9b2a2a2m9
14、b2a2m3，e254，e 52.化简得a24b2，即a24(c2a2)，4c25a2，答案(1)C(2)52结束放映返回目录第18页 考点突破考点三 双曲线的几何性质规律方法(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 kba满足关系式 e21k2(2)双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不等式，利用 b2c2a2 和 eca转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围结束放映返回目录第19页 考点突破解析 在PF1F2中，由正弦
15、定理知【训练 3】(2015湖北七市(州)联考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点 P 使sinPF1F2sinPF2F1ac，则该双曲线的离心率的取值范围是_.|P F2|sinPF1F2|P F1|sinPF2F1，又sinPF1F2sinPF2F1ac，|P F2|P F1|ac，|PF2|2a2ca 考点三 双曲线的几何性质则 2a2caca，即 e22e10，1e1 2答案(1，1 2)所以P在双曲线的右支上，设P(x0，y0)，如图，xyF1F2OP又|PF1|PF2|2a，由双曲线的几何性质知|PF2|
16、ca，结束放映返回目录第20页 考点突破考点四 直线与双曲线的位置关系【例 4】已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2，0)，实轴长为 2 3.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l：ykx 2与双曲线 C 左支交于 A，B 两点，求 k 的取值范围解(1)设双曲线 C 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)由已知得：a 3，c2，再由 a2b2c2，得 b21，双曲线 C 的方程为x23 y21.结束放映返回目录第21页 考点突破考点四 直线与双曲线的位置关系【例 4】已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2，0)，实轴长为 2 3.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l
17、：ykx 2与双曲线 C 左支交于 A，B 两点，求 k 的取值范围将 ykx 2代入x23 y21，得(13k2)x26 2kx90.由题意知13k20，36(1k2)0，xAxB 6 2k13k20，(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，解得 33 k1.当 33 k0，b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2y2b2t(t0)3已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x2a2y2b20 就是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线方程结束放映返回目录第25页 1 在运用双曲线的定义解题时，应特别注意
18、定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支 易错防范课堂小结2双曲线中c2a2b2，说明双曲线中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆 3求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错 4双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程是 ybax，y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程是 yabx.5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点 结束放映返回目录第26页（见教辅）