1、5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时 两角差的余弦公式 第五章 三角函数 学 习 任 务核 心 素 养1了解两角差的余弦公式的推导过程(重点)2理解用向量法导出公式的主要步骤(难点)3熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算(重点、易混点)1通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养2借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1观察下表中的数据：cos(6030)cos 60cos 30sin 60sin 303212323212cos(12060)cos 120cos 60sin 120sin 60
2、1212123232从中你能发现 cos()与 cos，cos，sin，sin 间的内在关系吗？知识点 两角差的余弦公式公式：cos()_.(1)简记符号：C()(2)适用条件：公式中的角，是任意角cos cos sin sin(1)公式可简记为：余余正正、符号反(2)公式中的，都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合，公式右端展开式为角，的同名三角函数积的和，即差角余弦等于同名积之和1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)，R，cos()cos cos 成立()(2)对，R，cos()cos cos sin sin 都成立()答案(1)(2)B cos 20cos(3010)
3、cos 30cos 10sin 30sin 10，故选B.2.cos 20()Acos 30cos 10sin 30sin 10Bcos 30cos 10sin 30sin 10Csin 30cos 10sin 10cos 30Dcos 30cos 10sin 30cos 100 原式cos(30120)cos(90)0.3.cos 30cos 120sin 30sin 120_.合作探究释疑难 NO.2类型1 给角求值问题 类型2 给值求值问题 类型3 给值求角问题 类型 1 给角求值问题【例 1】求下列各式的值：(1)cos(375)；(2)cos(45)cos sin(45)sin；(3
4、)12cos 15 32 sin 15.解(1)cos(375)cos 375cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 22 32 22 12 6 24.(2)cos(45)cos sin(45)sin cos(45)cos 45 22.(3)12cos 15 32 sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45 22.利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值跟进训练1求值：(1)si
5、n 46cos 14sin 44cos 76；(2)cos(70)cos(10)sin(70)sin(10)解(1)sin 46cos 14sin 44cos 76sin(9044)cos 14sin 44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14cos(4414)cos 30 32.(2)cos(70)cos(10)sin(70)sin(10)cos(70)(10)cos 6012.类型 2 给值求值问题【例 2】(对接教材 P216 例题)(1)已知 sin 35，是第二象限角；cos 45，是第四象限角，求 cos()的值；(2)已知 sin 12，cos()35
6、，均为锐角，求 cos 的值(1)同角三角函数存在哪些关系？要求 cos()的值，需要求哪些三角函数值？(2)能否将 表示成 与 的线性组合？如何借助两角差的余弦公式求 cos 的值？解(1)sin 35，是第二象限的角，cos 135245.又 cos 45，是第四象限的角，sin 145235.cos()cos cos sin sin 45453535 25251.(2)由 sin 12和 为锐角可得 cos 1sin2 32.由 cos()35和 0180可得 sin()1cos245.于是 cos cos()cos()cos sin()sin 35 32 451243 310.给值求值
7、问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角常见角的变换有：()；2 2；2()()；2()()跟进训练2已知 sin3 1213，6，23，求 cos 的值解 6，23，32，cos3 1sin23112132 513.3 3，cos cos3 3cos3 cos3sin3 sin3 513121213 32 12 3526.类型 3 给值求角问题【例 3】已知 sin()4 37，cos()1314，02，求角 的大小解 因为 si
8、n()4 37，所以 sin 4 37.因为 02，所以 cos 1sin217.因为 cos()1314，且 02，所以 02，所以 sin()1cos23 314，所以 cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12.因为 02，所以 3.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围：根据条件确定所求角的范围(2)求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限(3)求角：结合三角函数值及角的范围求角跟进训练3已知，均为锐角，且 cos 2 55，cos 1010，求 的值解，均为锐角，
9、sin 55，sin 3 1010，cos()cos cos sin sin 2 55 1010 55 3 1010 22.又 sin sin，02，20，故 4.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 D cos(15)cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 22 32 22 12 6 24.1cos(15)的值是()A 6 22 B 6 22C 6 24D 6 241 2 3 4 5 B sin 11cos 19cos 11cos 71cos 11cos 71sin 11sin 71cos(1171)cos(60)12.故选 B.2sin 11c
10、os 19cos 11cos 71的值为()A 32 B12C1 32D 3121 2 3 4 5 3已知 为锐角，为第三象限角，且 cos 1213，sin 35，则 cos()的值为()A6365 B3365 C6365 D33651 2 3 4 5 A 为锐角，cos 1213，sin 1cos2 513，为第三象限角，sin 35，cos 1sin245，cos()cos cos sin sin 121345 51335 6365.1 2 3 4 5 12 原式cos(35)(25)cos(60)cos 6012.4cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)_.5 1 2
11、 3 4 33 cos3 cos cos 3sin sin312cos 32 sin cos，所以 32 sin 12cos，所以sin cos 33，即 tan 33.5已知 cos3 cos，则 tan _.回顾本节知识，自我完成以下问题：1公式 C()的结构有何特点？提示 公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式2公式 C()中角，的适用条件是什么？提示 公式中的，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如 cos2 2中的“2”相当于公式中的角，“2”相当于公式中的角.3通过本节课的学习，你能谈一下“活用公式”的具体体现吗？提示 公式的运用要“活”，体现在正用、逆用、变用而变用又涉及两个方面公式本身的变用，如 cos()cos cos sin sin .角的变用，也称为角的变换，如cos cos()，cos 2cos()()点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!