1、专题三 数列第二讲 数列的综合应用热点聚焦 题型突破 限时规范训练 高考体验 真题自检 目 录 ONTENTSC考情分析 1 数列在解答题中的考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合试题难度中等.考情分析 1 年份卷别考查角度及命题位置卷等差数列的基本运算T172016卷等比数列的通项公式、an与sn的关系T172015卷等差数列的通项公式、an与Sn的关系、裂项相消法求和T17真题自检2 1(2016高考全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an
2、，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S53132，求.2 真题自检解析：(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a111，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即(1)an1an.由a10，0得an0，所以 an1an 1.因此an是首项为11，公比为 1的等比数列，于是an 111n1.(2)由(1)得Sn11n.由S53132得1153132，即15 132.解得1.2 真题自检2(2016高考全国卷)Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0,90，lg 991.(1)求b1，b11
3、，b101；(2)求数列bn的前1 000项和2 真题自检解析：(1)设数列an的公差为d，由已知得721d28，解得d1.所以数列an的通项公式为ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因为bn0，1n10，1，10n100，2，100n1 000，3，n1 000，所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893.2 真题自检3(2015高考全国卷)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn1anan1，求数列bn的前n项和2 真题自检解析：(1)由a2n2an4Sn3，可知a2n12an14
4、Sn13.，得a2n1a2n2(an1an)4an1，即2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)由an0，得an1an2.又a 212a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn1anan112n12n31212n112n3.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn121315 1517 12n112n3 n32n3.方法结论 考点一 由递推关系求通项 求数列通项常用的方法(1)定义法：形如an1anC(C为常数)，直接利用定义判断其为等差数列形如an1kan(k为非零常数)且首项不为
5、零，直接利用定义判断其为等比数列(2)叠加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通项公式(3)叠乘法：形如an1an f(n)0，利用ana1a2a1a3a2 anan1，求其通项公式方法结论 考点一 由递推关系求通项(4)待定系数法：形如an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t q1p，再转化为等比数列求解(5)构造法：形如an1panqn(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先在原递推公式两边同除以qn1，得 an1qn1 pq anqn 1q，构造新数列bn其中bna
6、nqn，得bn1pqbn1q，接下来用待定系数法求解题组突破 由an13an1(13)n(n2且nN*)得，3nan3n1an11,3n1an13n2an21，32a23a11，以上各式相加得3nann2，故ann23n.1(2017威海模拟)已知数列an满足a11，且an13an1(13)n(n2且nN*)，则数列an的通项公式为()Aan 3nn2 Bann23nCann2 Dan(n2)3nB考点一 由递推关系求通项 2已知数列an满足：a112，an1nn2an1 nn2，则数列an的通项公式为an()A.1nn1B11n1n2C11nn1D.nn1题组突破 通解：an11 nn2an
7、1 nn2 1 nn2(an1)，令bnan1，则b2b1b3b2b4b3b5b4 bnbn1132435n1n1，从而得到bnb12nn1，又b1a1112，得bn2nn1b11nn1，所以an11nn1，选C.优解：a1 12 1112，a2 56 1123，a3 1112 1134，归纳可得an11nn1，选C.C考点一 由递推关系求通项 3(2017宜昌调研)已知数列an满足a11，anan14an11(nN*，n2)，数列bn满足关系式bn 1an(nN*)(1)求证：数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式题组突破(1)证明：bn 1an，且anan14an11，bn1 1a
8、n11an4an14an1an，bn1bn4an1an 1an4.又b1 1a11，数列bn是以1为首项，4为公差的等差数列(2)由(1)知数列bn的通项公式为bn1(n1)44n3，又bn 1an，an 1bn14n3.数列an的通项公式为an14n3.考点一 由递推关系求通项 4已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an3n12(nN*)证明：数列an3为等比数列，并求出数列an的通项公式题组突破 当n1时，S1a12a1312，a19.当n1时，SnSn1an2an3n122an13(n1)122an2an13，an32(an13)，an3是以6为首项，2为公比的等比数列an362n1，a
9、n62n13.考点一 由递推关系求通项 误区警示 考点一 由递推关系求通项 依据递推式an1panq(p，q为常数)求数列通项公式是最常见的一类题型当p1时，an为等差数列；当p1，p0，q0时，an为等比数列；当p1，p0，q0时，如何求出其通项公式是一个难点，化解这类问题的思路是正确利用待定系数法，转化成等比数列考点二 数列求和 方法结论 常用求和方法(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列把Sna1a2an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSna1qa2qanq，两式错位相减即可求出Sn.考点二 数列求和 方法结论(2)裂项相消法：即将数列的通项
10、分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法裂项相消法适用于形如canan1(其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和考点二 数列求和 典例(2017大连一中模拟)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列1anan1的前n项和为Snn2n1.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nann12，求数列bn的前2n项和T2n.考点二 数列求和 解析：(1)设等差数列an的公差为d，由已知得a10，令n1，则S1 1a1a213，所以a1a23，令n2，则S2 1a
11、1a2 1a2a325，所以a2a315，a2a1d，a3a12d，联立，解得a11d2或a11d2(舍去)，所以an2n1.考点二 数列求和(2)由题意知，bn(1)na nn12(1)nn(n1)1，所以T2n(121)(231)(341)(1)2n2n(2n1)1(121)(231)(341)(451)(2n1)2n12n(2n1)1484nn44n22n22n.类题通法 考点二 数列求和 分类讨论思想在数列求和中的应用(1)当数列通项中含有(1)n时，在求和时要注意分n为奇数与偶数处理(2)对已知数列满足 an2an q，在求an的前n项和时分奇数项和偶数项分别求和1已知函数f(n)n
12、2当n为奇数时，n2当n为偶数时，且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100()A0 B100C100 D10 200演练冲关 由题意，a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100，故选B.对于命题p：当x1时q是真命题，故选D.B考点二 数列求和 2已知 Sn 为数列an的前 n 项和，且 a11，anan13n，则 S2 017_.演练冲关 由 anan13n，得 an1an3n1(n2)，所以an1an13(n2)，则数列an的所有奇数项和偶数项均
13、构成以 3 为公比的等比数列，又 a11，a1a23，所以 a23，所以 S2 0171131 009133131 0081331 0092.31 0092考点二 数列求和 3(2017广西三市联考)已知等比数列an的前n项和为Sn，且6Sn3n1a(nN*)(1)求a的值及数列an的通项公式；(2)若bn(1an)log3(a2nan1)，求数列 1bn的前n项和Tn.演练冲关(1)6Sn3n1a(nN*)，当n1时，6S16a19a，当n2时，6an6(SnSn1)23n，即an3n1，an是等比数列，a11，则9a6，得a3，数列an的通项公式为an3n1(nN*)(2)由(1)得bn(
14、1an)log3(a2nan1)(3n2)(3n1)，Tn 1b1 1b2 1bn 114 14713n23n113(114141713n213n1)n3n1.考点二 数列求和 考点三 数列与其他知识交汇的综合问题 数列中的综合问题，大多与函数、方程、不等式及解析几何交汇，考查利用函数与方程的思想及分类讨论思想解决数列中的问题，用不等式的方法研究数列的性质，数列与解析几何交汇，主要涉及点列问题交汇点一 数列与函数交汇典例1(2016大连双基测试)已知函数f(x)2sin(x)(0，|)的图象经过点 12，2，712，2，且在区间 12，712上为单调函数(1)求，的值；(2)设annf n3(
15、nN*)，求数列an的前30项和S30.(1)由题可得122 k2，kZ，712 2k2，kZ，解得2，2k23，kZ.|，23.(2)an2nsin 2n3 23(nN*)，数列 2sin2n3 23(nN*)的周期为3，前三项依次为0，3，3，a3n2a3n1a3n(3n2)0(3n1)33n(3)3(nN*)，S30(a1a2a3)(a28a29a30)10 3.考点三 数列与其他知识交汇的综合问题 类题通法 考点三 数列与其他知识交汇的综合问题 数列与函数的交汇问题的类型及解题方法(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函
16、数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对式子化简变形1设曲线y2 018xn1(nN*)在点(1,2 018)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlog2 018xn，则a1a2a2 017的值为()A2 018 B2 017C1 D1因为y2 018(n1)xn，所以切线方程是y2 0182 018(n1)(x1)，所以xn nn1，所以a1a2a2 017log2 018(x1x2x2 017)log2 018(12232 0172 018)log2 01812 0181.D演练冲关 考点三 数列与其他知识交汇的综合问题 交汇点二 数列与不等式交汇典例2(20
17、17武汉调研)设等差数列an的前n项和为Sn，已知a19，a2为整数，且SnS5.(1)求an的通项公式；(2)设数列1anan1的前n项和为Tn，求证：Tn49.(1)由a19，a2为整数可知，等差数列an的公差d为整数又SnS5，a50，a60，于是94d0,95d0，解得94d95.d为整数，d2.故an的通项公式为an112n.(2)证明：由(1)，得1anan11112n92n12(192n1112n)，Tn12(1719)(1517)(192n1112n)12(192n19)令bn192n，由函数f(x)192x的图象关于点(4.5，0)对称及其单调性，知0b1b2b3b4，b5b
18、6b70，bnb41.Tn12(119)49.考点三 数列与其他知识交汇的综合问题 演练冲关 类题通法 考点三 数列与其他知识交汇的综合问题 数列与不等式的交汇多为不等式恒成立与证明和形式的不等式，在求解时要注意等价转化即分离参数法与放缩法的技巧应用考点三 数列与其他知识交汇的综合问题 演练冲关 2(2017贵阳模拟)在数列an中，a1a22 a33 ann 2n1(nN*)，且a11，若存在nN*使得ann(n1)成立，则实数的最小值为_依题意得，数列ann 的前n项和为2n1，当n2时，ann(2n1)(2n11)2n1，且 a11 2111211，因此 ann 2n1(nN*)，annn1 2n1n1.记bn 2n1n1，则bn0，bn1bn 2n1n2 n2nn2n2n21，bn1bn，数列bn是递增数列，数列bn的最小项是b112.依题意得，存在nN*使得annn1 bn成立，即有b1 12，的最小值是12.12限时规范训练 点击进入word.