1、理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象 *1_(1)_._.21nnxaxannnnnannanananN一般的，如果 ，那么 叫做 的且，当 为奇数时，正数的 次方根是一个，负数的 次方根是一个这时 的 次方根记为；当 为偶数时，正数 的 次方根有两个，可用符号表示，其中叫做，这里的 叫做，叫做当 为根式奇数时，_ 0 0nnnnaanaaaaa ；当 为偶数时，*1_(01)2_(01)3 00 01_(0)2_02)3(mnmnrssraamnnaamnna aarsaarsNNQQ我们规定正数的正分
2、数指数幂的意义是：，、，正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿；我们规定 ，的正分数指数幂等于；的负分数指数幂没有意义 ，、；分数指数幂有理数指数幂的，、性质；3_(00)rababrQ，1_(01)_.24xaaxya一般的，函数 ，且叫做指数函数，其中 是 ，函数的定义域是 指数函数 的图象与指数性质函数及性质如下表：【要点指南】1.下列结论：222；3 232；323.则其中正确的有()A0B1C2D3【解析】222，323，所以和都不正确 2.(2011山东卷)若点(a,9)在函数 y3x 的图象上，则 tana6的值为()A0B.33C1D.3【解析】由题意 3a932，则
3、 a2，所以 tana6 tan3 3.3.已知函数 f(x)3ax1 的图象恒过定点 P，则点 P的坐标为()A(1,4)B(1,3)C(0,4)D(0,3)【解析】当 x1 时，a01，则 f(1)4，即定点 P 的坐标为(1,4)4.将指数函数 f(x)的图象向右平移一个单位，得到如图所示的 g(x)的图象，则 f(x)()A2xB3xC(12)xD(13)x【解析】设 f(x)ax，则 g(x)ax1，由 g(x)的图象过(2,2)点可知，a212，所以 a2，所以 f(x)2x.5.设 y140.9，y280.48，y3(12)1.5，则()Ay3y2y1By2y1y3Cy1y2y3
4、Dy1y3y2【解析】幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，不同底先化成同底y140.921.8，y280.4821.44，y3(12)1.521.5.又因为 y2x 在 R 上是单调增函数，1.81.51.44，所以 y1y3y2.一 有关指数幂的运算问题【例 1】计算：(1)(0.027)13(17)2(279)12(21)0；(2)(14)12 4ab130.12a3b312【解析】(1)原式(271000)13(7)2(259)121103 4953145.(2)原式412432100 a32a32b32b32 425a0b0 425.【点评】进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指
5、数幂的运算性质，并能灵活运用一般进行分数指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时要特别注意运算顺序问题 化简下列各式：(1)(0.0081)143(78)0 181 0.25(278)1312100.02713；(2)3a32 a33 a73 a13.素材1【解析】(1)(0.0081)143(78)01810.25(278)1312100.02713(0.3)41431(34)14(32)3131210(0.3)3130.313131(32)1123103 13(1323)123103 1330.(2)原式3a32a32a73a1333 a0 a21a.二
6、指数函数的图象及应用【例 2】已知函数 y(13)|x1|.(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)若曲线 yf(x)与直线 yb 没有公共点，求 b 的取值范围【解析】(1)方法 1：由函数解析式可得 y(13)|x 1|13x1 x13x1x1，其图象由两部分组成一部分是 y(13)x(x0)向左平移1个单位y(13)x1(x1)，另一部分是 y3x(x0)向左平移1个单位y3x1(x0，由 2x12x2，得(2x)222x10，解得 2x1 2，因为 2x0，所以 2x1 2，所以 xlog2(1 2)(2)当 t1,2时，f(t)2t12t，f(2t)22t 1
7、22t，由 2tf(2t)mf(t)0，得 2t(22t 122t)m(2t12t)0，即 m(22t1)(24t1)因为 22t10，所以 m(22t1)因为 t1,2，所以 522t117，所以17(22t1)5，所以 m5，即实数 m的取值范围是5，)三 指数函数的性质及应用【例 3】(2011上海卷)已知 f(x)a2xb3x，其中常数 a、b 满足 ab0.(1)若 ab0，判断函数 f(x)的单调性；(2)若 abf(x)时的 x 的取值范围【解析】(1)当 a0，b0 时，因为 a2x，b3x 都单调递增，所以函数 f(x)单调递增；当 a0，b0，()当 a0 时，原不等式等价
8、于(32)x a2b，又 y(32)x单调递增，a2b0，所以 xlog32(a2b)；()当 a0，b0 时，原不等式等价于(32)x a2b，同理解得x0，且 a1)的图象有两个公共点，则 a(0，12)；(2)已知 f(x)(1ax112)x，x0，若 f(x)0 在定义域内恒成立，则 a 的取值范围为(1，).素材3【解析】(1)数形结合法当 a1 时，作图知无解；当 0a1 时，作图知 02a10a0 x(ax1)0.当 x0 时，ax10axa0，又 x0，所以 a1；当 x0 时，ax10axa0，又 x1.综上，a 的取值范围为(1，)备选例题讨论函数 f(x)(12)x22x
9、 的单调性，并求其值域【解析】因为函数 f(x)的定义域为 R，令 ux22x，y(12)u，因为 ux22x(x1)21 在(，1上为减函数，在1，)上为增函数，又 y(12)u 在其定义域上为减函数，所以 f(x)在(，1上为增函数，在1，)上为减函数，因为 x22x(x1)211，底数12(0,1)，所以 0(12)x22x(12)12，即函数 f(x)的值域为(0,21201xyaaa分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算在运算过程中，要贯彻先化简后计算的原则，并且注意运算的顺序指数函数 的底数须满足条件且，研究几个指数函数尽量化为同底 31124指数函数的性质主要是单调性，比较大小是单调性的一个重要应用，比较时注意底数与 的大小分类讨论若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性来比较；若底数、指数均不相同，则可引入中间量或画图象来比较利用指数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用