1、考点测试23正弦定理和余弦定理一、基础小题1在ABC中，C60，AB，BC，那么A等于()A135 B105 C45 D75答案C解析由正弦定理知，即，所以sinA，又由题知0A120，所以A45，故选C.2在ABC中，“sinAsinB”是“AB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析根据正弦定理，“sinAsinB”等价于“ab”，根据“大边对大角”，得“ab”等价于“AB”3在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是()Ab10，A45，C60 Ba6，c5，B60Ca14，b16，A45 Da7，b5，A60答案C解析由条件解三角形
2、，其中有两解的是已知两边及其一边的对角C中，sinBa，BA，角B有两个解，选C.4在ABC中，AB2，AC2，C，则BC()A2B4C.D.答案B解析设BCx，由余弦定理，AB2AC2BC22ACBCcosC，得124x222x，x22x80，x4或x2(舍去)5在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定答案C解析由正弦定理得a2b2c2，所以cosC0，所以C是钝角，故ABC是钝角三角形6在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A60，a，bc3，则ABC的面积为()A. B. C. D2答案A解析由余弦定
3、理可得a2b2c22bccosA(bc)22bc2bccosA，代入已知可得393bc，从而解得bc2，SABCbcsinA2，故选A.7. 如图，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB的长为()A. B.C. D5答案C解析在ADC中，AD5，AC7，DC3，cosADC，ADC120，ADB60，在ABD中，AD5，B45，ADB60，由正弦定理，得AB.8设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosCcb，则A_.答案解析由余弦定理得cosC，将其代入acosCcb中得，acb，化简整理得b2c2a2bc，于是cosA，所以A.二、高考小题9A
4、BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cosA，则b()A. B. C2 D3答案D解析由余弦定理，得522b222bcosA，cosA，3b28b30，b3.故选D.10ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知bc，a22b2(1sinA)，则A()A. B. C. D.答案C解析在ABC中，由bc，得cosA，又a22b2(1sinA)，所以cosAsinA，即tanA1，又知A(0，)，所以A，故选C.11设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cosA且bc，则b()A3 B2 C2 D.答案C解析由余弦定理b2c22bccosAa2
5、，得b26b80，解得b2或b4，b0)，有2t2t，即t2t20，解得t1或t2(舍去)，故1.13设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cosC，3sinA2sinB，则c_.答案4解析由3sinA2sinB及正弦定理，得3a2b，又a2，所以b3，故c2a2b22abcosC4922316，所以c4.三、模拟小题14已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A，b2acosB，c1，则ABC的面积等于()A. B. C. D.答案B解析由正弦定理得sinB2sinAcosB，故tanB2sinA2sin，又B(0，)，所以B，又AB，则ABC是正三角形，所
6、以SABCbcsinA11.15若ABC的内角A，B，C满足6sinA4sinB3sinC，则cosB()A. B. C. D.答案D解析6sinA4sinB3sinC，即6a4b3c，可设a2k，b3k，c4k，(k0)由余弦定理得cosB.16若满足条件AB，C的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是()A(1，) B(，) C(，2) D(，2)答案C解析设BCa，C，AB，由正弦定理，得，sinA.由题意得，当A且A时，满足条件的ABC有两个，1，解得a2，则边长BC的取值范围是(，2)17在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b24a2b5且a2b2c2bc，则
7、sinB的值为()A. B. C. D.答案B解析由a2b24a2b5可知(a2)2(b1)20，故a2且b1.又a2b2c2bc，所以cosA，故sinA.根据正弦定理有，所以sinB，故选B.18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA(2sinBsinC)b(2cb)sinC，则A_.答案120解析由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccosA，故cosA，又A为三角形的内角，故A120.一、高考大题1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2BbsinA.(1)求B；(2)
8、若cosA，求sinC的值解(1)在ABC中，由，可得asinBbsinA，又由asin2BbsinA，得2asinBcosBbsinAasinB，所以cosB，得B.(2)由cosA，可得sinA，则sinCsinsin(AB)sinsinAcosA.2已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sinAsinC.(1)若ab，求cosB；(2)设B90，且a，求ABC的面积解(1)由题设及正弦定理，可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cosB.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca.所以ABC的面积为
9、1.二、模拟大题3在ABC中，点D在BC边上，已知cosCAD，cosC.(1)求ADC；(2)若AB，CD6，求BD.解(1)在ADC中，CAD，C(0，)，又cosCAD，cosC，sinCAD，sinC，cosADCcos(CADC)cosCADcosCsinCADsinC.所以ADC.(2)在ADC中，由正弦定理，得AD3.在ABD中，ADBADC.由余弦定理，得10BD21823BD，化简得BD26BD80，解得BD4或BD2.综上所述，BD4或BD2.4已知顶点在单位圆上的ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosAccosBbcosC.(1)cosA的值；(2)
10、若b2c24，求ABC的面积解(1)2acosAccosBbcosC，由正弦定理得2sinAcosAsinCcosBsinBcosC，即2sinAcosAsin(BC)sinA.又0A，sinA0，2cosA1，cosA.(2)由cosA，得sinA.由正弦定理2R2(R为外接圆的半径，外接圆为单位圆)，得a2sinA.由余弦定理，得a2b2c22bccosA，即bcb2c2a2431.SABCbcsinA1.5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosBbcosA2ccosC.(1)求C；(2)若ABC的面积为2，ab6，求ACB的角平分线CD的长度解(1)已知acosB
11、bcosA2ccosC，由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA2sinCcosC，所以sin(AB)2sinCcosC，即sinC2sinCcosC.因为0C，所以cosC，故C.(2)解法一：由已知，得SabsinCab2，所以ab8.又ab6，解得或当时，由余弦定理，得c241622412，所以c2.所以b2a2c2，ABC为直角三角形，B.因为CD平分ACB，所以BCD.在RtBCD中，CD.当时，同理可得CD.解法二：在ABC中，因为CD平分ACB，所以ACDBCD.因为SABCSACDSBCD，所以SABCbCDsinaCDsinCDsin(ab)(ab)CD.因为SABC2，ab6，即26CD，解得CD.6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求A的大小；(2)若a6，求bc的取值范围解(1)，cosAsinA，tanA，0A，A.(2)4，b4sinB，c4sinC，bc4sinB4sinC 4 4 12sin，B，612sin12，即bc(6,12