1、第8课时 渐开线与摆线1圆的渐开线把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切，绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，相应的定圆称为渐开线的基圆圆的渐开线的参数方程_(是参数)xrcos sin，yrsin cos 2摆线的参数方程_(是参数)xrsin，yr1cos 1关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A只有圆才有渐开线B渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C正方形也可以有渐开线D对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同【答案】C【解析】不仅圆有摆线，其他
2、图形如：椭圆、正方形都有渐开线；渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但实质上完全不一样，所以图形也不同；对于同一个圆不管在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同2半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么它的横坐标可能是()A B2 C12 D14【答案】C【解析】将y0代入摆线的参数方程得cos 1，所以2k(kZ)，而x33sin 6k(kZ).故选C3圆的渐开线方程的参数方程是xcos sin，ysin cos(是参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数 4时对应的曲线上的点的坐标为_【答案】2 22 28，22
3、28【解析】r1，2r2.将 4代入曲线的参数方程得 x 22 28，y 22 28 4已知一个圆的摆线方程是x44sin，y44cos(是参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程【解析】根据圆的摆线方程可知圆的半径为 4，所以面积 S16该圆对应的渐开线的参数方程为x4cos sin，y4sin cos(是参数)【例 1】已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A，B 对应的参数分别是3，2，求 A，B 两点的坐标圆的渐开线的参数方程【解题探究】根据圆的直径可知渐开线的参数方程，将 3，2代入参数方程即可求得对应的 A，B 两点的坐标【解析】由题意知 r1，得圆的
4、渐开线的参数方程为xcos sin，ysin cos(是参数)当 3时，xcos33sin312 36，ysin33cos3 32 6，A12 36，32 6 当 2时，xcos22sin22，ysin22cos21，B2，1 由于渐开线的参数方程较为复杂，所以在计算时需仔细由于渐开线的参数方程较为复杂，所以在计算时需仔细1给出某渐开线的参数方程x3cos 3sin，y3sin 3cos(为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_，当参数 取2时对应的曲线上的点的坐标是_【答案】32，3【解析】本题考查对渐开线参数方程的理解根据一般情况下基圆半径为 r 的渐开线的参数方程xrcos
5、sin，yrsin cos(为参数)进行对照可知，这里的 r3，即基圆半径是 3.然后把2分别代入 x 和 y，可得x32，y3，即得对应的点的坐标【例2】已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，写出该摆线的参数方程【解题探究】只需求出圆的半径，即可知道摆线的参数方程，即摆线的参数方程由圆的半径唯一确定可先把点(1,0)代入参数方程中求出半径r，再代入参数方程中求出方程的表达式圆的摆线的参数方程【解析】令 r(1cos)0，可得 cos 1，所以 2k(kZ)，代入可得，xr(2ksin 2k)1，所以 r 12k又根据实际情况，可知 r 是圆的半径，故 r0，所以应有k0 且 kZ，即 kN*所
6、以所求摆线的参数方程是x 12ksin，y 12k1cos(是参数)(其中 kN*)本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成的值，代入参数方程中求出x和y的值；或者在求出cos 1后，直接得出0，从而导致答案不全面2已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程【解析】令 y0，得 r(1cos)0，即得 cos 1，所以2k(kZ)代入得 xr(2ksin 2k)2，即得 r 1k(kZ)又因为 r0，所以 r 1k(kN*)，易知，当 k1 时，r 最大值为1代入即可得，圆的摆线的参数方程是x1sin，y11cos(为参数)，圆的渐
7、开线的参数方程是x1cos sin，y1sin cos(为参数)【例 3】已知 A 是圆的渐开线x2cos sin，y2sin cos(是参数)上一动点，B(8，8)，求 AB 的中点 C 的参数方程【解题探究】巧妙地利用点A在圆的渐开线上是本题的关键通过参数方程求轨迹方程【解析】设 A(2(cos sin)，2(sin cos)，C(x，y)，则x 82cos sin 2 4 cos sin ，y 82sin cos 24sin cos，所以点 C 的参数方程为x4cos sin，y4sin cos(为参数)利用已知参数方程求动点的轨迹方程较为简单3我们知道关于直线 yx 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线xrsin，yr1cos(为参数)关于直线 yx 对称的曲线的参数方程为_【答案】xr1cos，yrsin(为参数)【解析】关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换所以要写出摆线方程关于直线yx的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换在圆的渐开线和摆线的参数方程中，r是指圆的半径，是相应的参数值，在解题过程中，当给足r和值时，代入相应的参数方程，可求出点的坐标方程