1、重组十六算法初步、复数、推理与证明测试时间：120分钟满分：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1i为虚数单位，复数()A1i B1i C1i D1i答案D解析分母实数化，即分子与分母同乘以分母的共轭复数：1i.故选D.2已知复数z1ai(aR)(i是虚数单位)在复平面上表示的点在第四象限，且z5，则a()A2 B2 C. D答案B解析z1ai(aR)在复平面上表示的点在第四象限，a0.又z(1ai)(1ai)1a25，a2，而a0，a2，故选B.3欧拉在1748年给出了著名公式eicosisin(欧拉公式)是数学中最卓
2、越的公式之一，其中，底数e2.71828，根据欧拉公式eicosisin，任何一个复数zr(cosisin)，都可以表示成zrei的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z12e，z2e，则复数z在复平面内对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析因为z12e21i，z2ecosisini，所以zi.复数z在复平面内对应的点为Z(，1)，点Z在第四象限，故选D.4观察下列各式：553125,5615625,5778125,58390625，则52015的末四位数字为()A3125 B5625 C0625 D8125答案D解析由题意553125,5615625,
3、5778125,58390625，591953125,5109765625,51148828125得规律，故选D.5我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n()A5B4C3D2答案B解析第一次循环，得S011 210，不满足条件，继续循环；第二次循环，得n2，a，A2，S2210，不满足条件，继续循环；第三次循环，得n3，a，A4，S410，结束循环，输出n4，故选B.6按图所示的程序框图，若输入a110011，则输出的b()A51 B49 C47 D45答案A解
4、析经计算得b12012102202312412551.故选A.7在平面直角坐标系xOy中，满足x2y21，x0，y0的点P(x，y)的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2y2z21，x0，y0，z0的点P(x，y，z)的集合对应的空间几何体的体积为()A. B. C. D.答案B解析所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体积为13，故选B.8已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)k2成立，则f(k1)(k1)2成立，下列命题成立的是()A若f(3)9成立，则对于任意k1，均有f(k)k2成立B若f(4
5、)16成立，则对于任意的k4，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则对于任意的k7，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则对于任意的k4，均有f(k)k2成立答案D解析对于A，当k1或2时，不一定有f(k)k2成立；对于B，应有f(k)k2成立；对于C，只能得出：对于任意的k7，均有f(k)k2成立，不能得出：对于任意的k7，均有f(k)16，对于任意的k4，均有f(k)k2成立9某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费)；当车程超过4千米
6、时，另收燃油附加费1元相应系统收费的程序框图如图所示，其中x(单位：千米)为行驶里程，y(单位：元)为所收费用，用表示不大于x的最大整数，则图中处应填()Ay24 By25Cy24 Dy25答案D解析由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费)；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元可得：当x4时，所收费用y122125，故选D.10运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线yx上，则判断框中可填写的条件是()Ai6? Bi7? Ci8? Di9?答案D解析i1，y0.圈数xsinyyxii1(
7、x，y)i满足条件Px1y1i2不满足Px0y1i3(0,1)不满足Px1y0i4(1,0)不满足Px0y0i5不满足Px1y1i6不满足Px0y1i7(0,1)不满足Px1y0i8(1,0)不满足Px0y0i9不满足Px1y1i10满足Pi9，故选D.11我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，dN*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道3.14159，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为()
8、A. B. C. D.答案A解析由题意：第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，第二次用“调日法”后得是的更为精确的不足近似值，即，第三次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，第四次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即0的解集为(1,2)，解关于x的不等式ax2bxc0”，给出如下一种解法：解：由ax2bxc0的解集为(1,2)，得a(x)2b(x)c0的解集为(2,1)，即关于x的不等式ax2bxc0的解集为(2,1)参考上述解法，若关于x的不等式0的解集为，则关于x的不等式0的解集为_答案(3，1)(1,2)解析不等式0，可化为0，故得1或1，解得3x1或1x2
9、，故0的解集为(3，1)(1,2)16在讨论勾股定理的过程中，九章算术提供了许多整勾股数，如324252,52122132,6282102,72242252,82152172等等后人在此基础上进一步探索，得到如下规律：若a，b，c是一组勾股数，且abc，则当a是大于1的奇数时c可以用a表示为c；当a是大于4的偶数时c可以用a表示为c_.答案1解析当a是大于1的奇数时，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，当a是大于4的偶数时，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数，所以a是大于4的偶数时b21，c21.三、解答题(
10、共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，|z|1，且z1，求z；(2)已知复数z(15i)m3(2i)为纯虚数，求实数m的值解(1)设zabi(a、bR)，由题意得解得a，b.复数z在复平面内对应的点在第四象限，b，zi.(5分)(2)z(15i)m3(2i)(m2m6)(2m25m3)i，依题意得m2m60，解得m3或2.2m25m30，m3，m2.(10分)18(本小题满分12分)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为N(n
11、，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n正方形数N(n,4)n2五边形数N(n,5)n2n六边形数N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，计算N(10,24)的值解已知式子可化为：N(n,3)n2nn2n，(2分)N(n,4)n2n2n，(4分)N(n,5)n2nn2n，(6分)N(n,6)2n2nn2n，(8分)由归纳推理可得N(n，k)n2n，(10分)故N(10,24)1021011001001000.(12分)19(本小题满分12分)设f(x)与g(x)是定义在同一区间上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在x上有两个不同的零点，则
12、称f(x)和g(x)在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在上是“关联函数”，求m的取值范围解f(x)x23x4与g(x)2xm在上是“关联函数”，故函数yh(x)f(x)g(x)x25x4m在上有两个不同的零点，故有(8分)即解得0，即t1时：f(x)在R上单调递增，tf(x)1，tf(a)，f(b)，f(c)f(c)，得2t11t；(7分)当t10，即t1时：f(x)在R上单调递减，1f(x)f(c)，得2tt2，2t1.(10分)综上：2t.(12分)22(本小题满分12分)已知数列a1，a2，a30，其中a1，a2，a10是首项为1，公差为1的等差
13、数列；a10，a11，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，a30是公差为d2的等差数列(d0)(1)若a2040，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列试写出a10n关于d的关系式(nN*)解(1)a1010，a201010d40，d3.(2分)(2)a30a2010d210(1dd2)(d0)，(4分)a3010，当d(，0)(0，)时，a30.(6分)(3)所给数列可推广为无穷数列an，其中a1，a2，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n1时，数列a10n，a10n1，a10(n1)是公差为dn的等差数列研究的问题可以是：试写出a10n关于d的关系式研究的结论可以是：由a40a3010d310(1dd2d3)，(9分)依次类推可得a10n1010d10dn1(12分)