1、模块综合检测(能力卷)时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1曲线y4xx3在点(1，3)处的切线方程是()Ay7x4Byx4Cy7x2Dyx2答案D解析y|x1(43x2)|x11，切线方程为y3x1，即yx2.2设x34i，则复数zx|x|(1i)在复平面上的对应点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案B解析x34i，|x|5，z34i5(1i)(351)(41)i35i.复数z在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3若函数f(x)x2bxc的图象的顶点在第四象限，则函数f (x)的
2、图象是()答案A解析f (x)2xb为增函数，排除B、D；又f(x)的顶点在第四象限，0，b0，当x，1时，f (x)0，xln(k1)，仅当k0时，x0Z，因此函数yex1是一阶格点函数对于，注意到函数yx2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数yx2不是一阶格点函数综上所述知选C.8(2016淄博高二检测)下列求导运算正确的是()A(2x)x2x1B(3ex)3exC(x2)2xD()答案B解析对于A，(2x)2xln2；对于B，(3ex)3ex；对于C，(x2)2x；对于D，()；综上可知选B.9古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1,
3、3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289B1024C1225D1378答案C解析图1中满足a2a12，a3a23，anan1n，以上累加得ana123n，an123n，图2中满足bnn2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方1225352，选C.10若曲线yx在点(a，a)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a()A64B32C16D8答案A解析yx，ka，切线方程是yaa(xa)，令x0，ya，
4、令y0，x3a，三角形的面积是S3aa18，解得a64.11(2016全国卷理，12)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m4，则不同的“规范01数列”共有()A18个B16个C14个D12个答案C解析由题意可得a10，a81，a2，a3，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k8，都有a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,0011001
5、1,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个12当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3B6，C6，2D4，3答案C解析ax3x24x3恒成立当x0时式子恒成立aR，当x0时，a恒成立令t，x(0,1，t1.at4t23t3恒成立令g(t)t4t23t3，g(t)18t9t2(t1)(9t1)，函数g(t)在1，)上为减函数而且g(1)160，g(t)0在1，)上恒成立g(t)在1，)上是减函数，g(t)maxg(1)6，a6；当x，sinxdx2.14请阅读下列材料：若两个正实数
6、a1、a2满足aa1，那么a1a2.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1.因为对一切实数x，恒有f(x)0，所以0，从而得4(a1a2)280，所以a1a2.类比上述结论，若n个正实数满足aaa1，你能得到的结论为_.答案a1a2an(nN*)解析构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)x1，f(x)0对任意实数x都成立，4(a1a2an)24n0，a1，a2，an都是正数，a1a2an.15对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：2213,32135,421357；2335,337911,4313151719.根
7、据上述分解规律，若n213519，m3(mN*)的分解中最小的数是21，则mn的值为_答案15解析依题意得n2100，n10.易知m321m2，整理得(m5)(m4)0，又mN*，所以m5，即532123252729，所以mn15.16(2016全国卷理，16)若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.答案1ln2解析设ykxb与ylnx2和yln(x1)的切点分别为(x1，lnx12)和(x2，ln(x21)则切线分别为ylnx12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化简得yxlnx11，yxln(x21)，依题意，解得x1，从而blnx111ln2.三
8、、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)(2016大连高二期中)已知z1、z2为复数，i为虚数单位，z113(z11)50，为纯虚数，z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q.(1)求点P的轨迹方程；(2)求点Q的轨迹方程；(3)写出线段PQ长的取值范围解析(1)设z1xyi，(x、yR)，由z113(z11)50得x2y26x50，整理得(x3)2y24，点P的轨迹方程为(x3)2y24.(2)设z2xyi，(x、yR)，为纯虚数，x2y29且y0，点Q的轨迹方程为x2y29(y0)(3)PQ长的取值范围是0,8)两圆相交，PQ长的
9、最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，PQ长的最大值为8，但点Q的轨迹方程中y0，|PQ|8，线段PQ长的取值范围是0,8)18(本题满分12分)设函数f(x)sinxcosxx1,0x2，求函数f(x)的单调区间与极值.解析f (x)cosxsinx1sin(x)1(0x0，cnn0，0，又0nn1，nn1，01，1，即cn10，得x，令f (x)0，得0x，f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)(2)f()lnln，f()ln，f()ln，又ln0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，.(1)写出xn与xn1、x
10、n2之间的关系式(n3)；(2)设anxn1xn，计算a1、a2、a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明解析(1)由题意，当n3时，xn(xn1xn2)(2)x10，x2a，x3(x2x1)，x4(x3x2)，a1x2x1a，a2x3x2，a3x4x3，推测an.方法一证明：对于任意nN*，anxn1xn，an1xn2xn1(xn1xn)xn1(xn1xn)an，又a1a0，an是以a为首项，以为公比的等比数列故ana()n1.方法二下面用数学归纳法证明：当n1时，a1aa()11，结论an成立假设当nk(k1，kN)时，an成立，即aka()k1，则当nk1时，ak1xk2xk1xk1
11、ak()a()k1a()(k1)1，所以nk1时，an成立由可知，数列an的通项公式为ana()n1，nN*.22(本题满分12分)(2016北京文，20)设函数f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)设ab4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围；(3)求证：a23b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件解析(1)由f(x)x3ax2bxc，得f (x)3x22axb.因为f(0)c，f (0)b，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为ybxc.(2)当ab4时，f(x)x34x24xc，所以f (x)3x28x4.令f
12、 (x)0，得3x28x40，解得x2或x.f(x)与f (x)在区间(，)上的情况如下：x(，2)2(2，)(，)f (x)00f(x)cc所以，当c0且c0时，存在x1(4，2)，x2(2，)，x3(，0)，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知，当且仅当c(0，)时，函数f(x)x34x24xc有三个不同零点(3)当4a212b0，x(，)，此时函数f(x)在区间(，)上单调递增，所以f(x)不可能有三个不同零点当4a212b0时， f (x)3x22axb只有一个零点，记作x0.当x(，x0)时， f (x)0，f(x)在区间(，x0)上单调递增；当x(x0，)时， f (x)0，f(x)在区间(x0，)上单调递增；所以f(x)不可能有三个不同零点综上所述，若函数f(x)有三个不同零点，则必有4a212b0.故a23b0是f(x)有三个不同零点的必要条件当ab4，c0时，a23b0，f(x)x34x24xx(x2)2只有两个不同零点，所以a23b0不是f(x)有三个不同零点的充分条件因此a23b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件
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