1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1双曲线1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是()A17B7C7或17D2或22【解析】由双曲线方程1得a5，|PF1|PF2|2510.又|PF1|12，|PF2|2或22.故选D.【答案】D2焦点分别为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax21 B.y21Cy21 D.1【解析】由双曲线定义知，2a532，a1.又c2，b2c2a2413，因此所求双曲线的标准方程为x21.【答案】A3设动点M到A(5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是
2、()A.1 B.1C.1(x0) D.1(x0)【解析】由双曲线的定义得，P点的轨迹是双曲线的一支由已知得a3，c5，b4.故P点的轨迹方程为1(x0)，因此选D.【答案】D4已知双曲线1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为()A. B.C. D.【解析】不妨设点F1(3,0)，容易计算得出|MF1|，|MF2|MF1|2.解得|MF2|.而|F1F2|6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|F1F2|MF2|d，求得F1到直线F2M的距离d为.故选C.【答案】C5椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()A.B1或2C1或D1【解析】由于a0,0a
3、24，且4a2a2，所以可解得a1，故选D.【答案】D二、填空题6经过点P(3,2)和Q(6，7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是_. 【导学号：26160046】【解析】设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得故双曲线的标准方程为1.【答案】17已知方程1表示的曲线为C.给出以下四个判断：当1t4时，曲线C表示椭圆；当t4或t1时，曲线C表示双曲线；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1t；若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t4.其中判断正确的是_(只填正确命题的序号)【解析】错误，当t时，曲线C表示圆；正确，若C为双曲线，则(4t)(t1)0，t1或t4；正确，若C为焦点在x轴
4、上的椭圆，则4tt10.1t；正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则，t4.【答案】8已知F是双曲线1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_【解析】设右焦点为F，依题意，|PF|PF|4，|PF|PA|PF|4|PA|PF|PA|4|AF|4549.【答案】9三、解答题9求以椭圆1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，5)的双曲线的标准方程【解】由1，得a4，b3，所以短轴两端点的坐标为(0，3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得2a|2，a，又c3，从而b2c2a24，又焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为1.10已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2
5、5y25的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin Bsin Asin C.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程【解】(1)将椭圆方程化为标准形式为y21.a25，b21，c2a2b24，则A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|21)能力提升1已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|()A2B4C6D8【解析】由题意，得|PF1|PF2|2，|F1F2|2.因为F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|
6、F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2|8224.【答案】B2(2016临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且0，|2，则该双曲线的方程是()A.y21Bx21C.1 D.1【解析】由双曲线定义|MF1|MF2|2a，两边平方得：|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2，因为0，故MF1F2为直角三角形，有|MF1|2|MF2|2(2c)240，而|2，40224a2，a29，b21，所以双曲线的方程为y21.【答案】A3若F1，F2是双曲线8x2y28的两焦点，点P在
7、该双曲线上，且PF1F2是等腰三角形，则PF1F2的周长为_【解析】双曲线8x2y28可化为标准方程x21，所以a1，c3，|F1F2|2c6.因为点P在该双曲线上，且PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|F1F2|6，或|PF2|F1F2|6，当|PF1|6时，根据双曲线的定义有|PF2|PF1|2a624，所以PF1F2的周长为66416；同理当|PF2|6时，PF1F2的周长为66820.【答案】16或204.如图222，已知双曲线中c2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，F1PF260，SF1PF212.求双曲线的标准方程 【导学号：26160047】图222【解】由题意可知双曲线的标准方程为1.由于|PF1|PF2|2a，在F1PF2中，由余弦定理得cos 60，所以|PF1|PF2|4(c2a2)4b2，所以SF1PF2|PF1|PF2|sin 602b2b2，从而有b212，所以b212，c2a，结合c2a2b2，得a24.所以双曲线的标准方程为1.