1、一、函数与方程思想 思想解读 思想解读 应用类型 函数的思想,就是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的数学思想.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的数学思想.解决图象交点或方程根的问题;解决最值或范围问题;解决与不等式有关的问题;解决与数列有关的问题;解决与解析几何、立体几何有关的问题.总纲目录 应用一 解决图象交点或方程根的问题 应用二 解决最值或范围问题 应用三 解决与不等式有关
2、的问题 应用四 解决与数列有关的问题 应用五 解决与解析几何、立体几何有关的问题 应用一 解决图象交点或方程根的问题 例1 设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意xR,都有f(x+4)=f(x),且当x-2,0时,f(x)=-6.若在区间(-2,6内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a1)恰有3个不同的实数根,则实数a的取值范围是 .13x答案(,2)3 4解析 由f(x+4)=f(x)得函数f(x)的周期为4,若x0,2,则-x-2,0,则f(-x)=-6=3x-6,因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=3x-6=f(x),即f(x)=3x-6,x0,2,设g(x)=loga(x
3、+2),作出函数f(x)、g(x)的图象如图.13x当a1时,方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数根,等价于函数f(x)与g(x)=loga(x+2)有3个不同的交点,则满足 即(2)(2),(6)(6),gfgf解得 a0时,f(x)=x3-2x2+3x-1,则f(x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),x=3,x=1是函数f(x)的极值点,又f(1)=,f(3)=-1,在(0,+)上f(x)的大致图象如图2所示.1313图2f(x)的图象与x轴在x(0,+)上有3个交点.综上,函数f(x)的零点个数为5.故选D.应用二 解决最值或范围问题 例2 已知a,b,c为平面上
4、三个向量,又a,b是两个相互垂直的单位向量,向量c满足|c|=3,ca=2,cb=1,则对于任意实数x,y,|c-xa-yb|的最小值为 .答案 2解析 由题意可知|a|=|b|=1,ab=0,又|c|=3,ca=2,cb=1,所以|c-xa-yb|2=|c|2+x2|a|2+y2|b|2-2xca-2ycb+2xyab=9+x2+y2-4x-2y=(x-2)2+(y-1)2+4,当且仅当x=2,y=1时,(|c-xa-yb|2)min=4,所以|c-xa-yb|的最小值为2.【技法点评】求最值或参数范围的技巧(1)充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式(组)求解.(2)充分
5、应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函数,然后应用函数知识求解.(3)当问题中出现两数积与这两数和时,应构建一元二次方程,再利用方程知识使问题巧妙解决.(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数.跟踪集训(2017湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L,过顶点的最大截面的面积为 L2,则圆锥底面半径与母线长的比 的取值范围是()A.0 B.1C.0 D.rLcos 45=L,所以 0.121,2121,21278e2因此g(x)0,故g(x)在 上单调递增,则g(x)g=2-,所以a-=2-,解得a=2.所以a的取值集合为2.1,212121e1812e 9494
6、e 94ee【技法点评】解决不等式问题的方法及注意点(1)在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化,一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范围的量为参数.跟踪集训 1.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+)C.(-,-1)D.(-,+)答案B 设g(x)=f(x)-2x-4,则g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0,g(x)=f(x)-20,则g(
7、x)为增函数.解g(x)0,即g(x)g(-1),得x-1,选B.2.若0 x1x2ln x2-ln x1 B.-x1 D.x2 x1 2ex1ex2ex1ex1ex2ex1ex2ex答案C 设f(x)=ex-ln x(0 x1),则f(x)=ex-=,令f(x)=0,得xex-1=0.根据函数y=ex与y=的图象可知两函数图象的交点x0(0,1),因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项不正确.设g(x)=(0 x1),则g(x)=.又0 x1,g(x)0.函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0 x1x2g(x2),1xe1xxx1xexx2e(1)x xxx2 x1.故选
8、C.1ex2ex应用四 解决与数列有关的问题 例4 已知数列an是各项均为正数的等差数列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列an的通项公式an;(2)在(1)的条件下,数列an的前n项和为Sn,设bn=+,若对任意的nN*,不等式bnk恒成立,求实数k的最小值.11nS 21nS 21nS解析(1)因为an是正项等差数列,所以d0,由题意知=a2(a4+1),又a1=2,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),解得d=2或d=-1(舍去),所以数列an的通项公式an=2n.(2)易知Sn=n(n+1),则bn=+=+=-+-+-=-23a11nS 21nS 21nS
9、1(1)(2)nn1(2)(3)nn12(21)nn 11n 12n 12n 13n 12n121n 11n 121n=,令f(x)=2x+(x1),则f(x)=2-,当x1时,f(x)0恒成立,所以f(x)在1,+)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=,要使对任意的正整数n,不等式bnk恒成立,2231nnn1123nn1x21x16则须使k(bn)max=,所以实数k的最小值为.1616【技法点评】数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型:(1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或不等式求解.(2)数列中的最大项与最小项
10、问题,利用函数的有关性质或不等式组 (n2,nN*)求解.(3)数列中前n项和的最值:转化为二次函数,借助二次函数的单调性或求使an0(an0)成立时最大的n值即可求解.11,nnnnaaaa11,nnnnaaaa跟踪集训(2017长沙统一模拟考试)已知数列an为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=,设bn的前n项和为Sn.求最小的正整数n,使得Sn.解析(1)设等差数列an的公差为d,依题意有 解得a1=1,d=2,从而an的通项公式为an=2n-1.(2)因为bn=-,12nna a 2 0162 017111238,433,adadad1
11、2nna a 121n 121n 所以Sn=+=1-,令1-,解得n1 008,故n=1 009.11131135112121nn121n 121n 2 0162 017应用五 解决与解析几何、立体几何有关的问题 例5 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.(1)若=6,求k的值;(2)求四边形AEBF面积的最大值.EDDF解析(1)由题设条件可得,椭圆的方程为+y2=1,直线AB的方程为x+2y-2=0.设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x10),即k=时,等号成立.故
12、四边形AEBF面积的最大值为2.【技法点评】解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.1k122跟踪集训 1.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为()新工件的体积材料利用率原工件的体积A.B.C.D.8916934(21)312(21)答案A 原工件是一个底面半径为1,高为2的圆锥,依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体,且落在圆锥底面上的面是正方形,设正方形的边长为a,长方体的高为h,则0a,0h0,b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .22xa22yb答案 2解析 如图,不妨令|AB|=3,|BC|=2,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,则AB的中点为F1,故|DF1|=,|DF2|=,根据双曲线的定义知2a=1,又2c=2,所以该双曲线的离心率为=2.523222ca