1、泉州市 2022 年高考质优生考前强化训练资料推题三：概率统计试题1为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数 X 都在75,100)内，再以 5 为组距画分数的频率分布直方图（设“Y频率组距”）时，发现Y 满足：7,15,15019,16,30011,16,1520nYnknn,55(1)nNnXn.（1）试确定 n 的所有取值，并求 k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于 85 分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；
2、分数在95,100)内的同学评为一等奖；分数在90,95)内的同学评为二等奖，但通过附加赛有 111 的概率提升为一等奖；分数在85,90)内的同学评为三等奖，但通过附加赛有 17 的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）已知学生 A 和 B 均参加了本次比赛，且学生 A 在第一阶段获得二等奖.求学生 B 最终获奖等级不低于学生 A 最终获奖等级的概率；已知学生 A 和 B 都获奖，记,A B 两位同学最终获得一等奖的人数为，求 的分布列和数学期望关键词：独立事件，条件概率，分布列，数学期望2垃圾分类，是指按一定标准
3、将垃级分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称，分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，为争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了 5 套环境监测系统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为 80 万元，日常全天候开启 3 套环境监测系统，若至少有 2 套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有 1 套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外两套系统进行 1 小时的监测，且后启动的这 2 套监测系统中只要有 1 套系统监测出排放超标，也立即检查污染处理系统.设每个时间
4、段（以 1 小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为01pp，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.（1）当13p 时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率；（2）若每套环境监测系统运行成本为 20 元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要 6 万元.现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超过预算（全年按 9000 小时计算）？并说明理由.关键词：二项分布，条件概率，最值32022 年初，新型冠状病毒肺炎再次爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也
5、加大了质量检查的力度某市 2022 年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了 100 瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为226 3，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为 26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情
6、况写出两条统计结论；（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值 Z 近似地服从正态分布2,N ，其中 近似为样本平均数 x，并已求得11.95 该厂决定将消毒液分为 A，B，C 级三个等级，其中质量指标值 Z 不高于 2.6 的为 C级，高于 38.45 的为 A 级，其余为 B 级，请利用该正态分布模型解决下列问题：（）甲厂近期生产了 10 万瓶消毒液，试估计其中 B 级消毒液的总瓶数；（）已知每瓶消毒液的等级与出厂价 X（单位：元/瓶）的关系如下表所示：等级ABC出厂价 X302516质 量 指标值0,1010,2020,3030,4040,50频数2010301525假定甲厂半年消毒液的生产量为
7、 1000 万瓶，且消毒液全都能销售出去若每瓶消毒液的成本为 20 元，工厂的总投资为 4 千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由附：若2,ZN ，则0.6827PZ，220.9545PZ，330.9973PZ关键词：开放性问题，正态分布，决策4某种疾病可分为 、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的 2 倍，男性患型病的人数占男性病人的 56，女性患型病的人数占女性病人的 13.（1）若在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多
8、少人？（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排 2 个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为01pp，每人每次接种花费0m m 元，每个周期至多接种 3 次，第一个周期连续 2 次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续 2 次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为 01qq，每人每次花费 0n n 元，每个周期接种 3次，每个周期必须完成 3次接种，若一个周期内至少出现 2 次抗体，则该周期结束后终止试验，否则
9、进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当23nm，pq时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.附：22n adbcKabcdacbd，关键词：独立性检验，决策20P Kk0.100.050.010.0050.0010k2.7063.8416.6357.87910.8285某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响，于是对近 8 年的年宣传费ix 和年销售量iy(i 1,2，8)的数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量
10、的值xyw821()iixx821()iiww81()()iiixxyy81()()iiiww yy46.65636.8289.81.61 469108.8注：表中iiwx，8118iiww（1）根据散点图判断，yabxycdx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润 z 与,x y 之间的关系为 0.2zyx根据（2）的结果回答下列问题当年宣传费 x 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？参考公式：
11、1221niiiniix ynx ybxnx，aybx，关键词：非线性回归直线方程参考答案：1（1）根据题意，X 在75,100)内，按 5 为组距可分成 5 个小区间，分别是75,80)，80,85)，85,90)，90,95)，95,100)，因为 75100X，由 55(1)nXn，nN，所以 n 的值可取15,16,17,18,19.每个小区间的频率值分别是7,15,30195,16,60115,17,18,19320nPYnknn由 719111511306032k ，解得350k.（2）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.由（1）知，学生 A 的分数属于区间75,80)，80,8
12、5)，85,90)，90,95)，95,100)的概率分别是：730，1960，1460，1160，260.用符号ijA（或ijB）表示学生 A（或 B）在第一轮获奖等级为 i，通过附加赛最终获奖等级为 j，其中(,1,2,3)ji i j.记“学生 B 最终获奖等级不低于学生 A 的最终获奖等级”为事件 W，则12122223222()P WP BBB AB A 12122223222P BP BP BP AP BP A211111 10 1014 1 10516060 1160 11 1160 7 11220.学生 A 最终获得一等奖的概率是111AP，学生 B 最终获得一等奖的概率是21
13、1121160602727 11272796060BP，1180(0)1111999P，111118(1)1111911999P，111(2)11 999P .所以 的分布列为：801812001299999999E .012P809918991992.（1）设某个时间段在开启 3 套系统时就被确定需要检查污染源处理系统的事件为 A，则 2322332333331217C1CCC33327P Appp，设某个时间段需要开启另外 2 套环境监测系统才能确定需要检查污染源处理系统的事件为 B，则 12222113312120C111C1133381P Bppp 所以某个时间段需要检查污染源处理系统
14、的概率为 72041278181（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为 X 元，则 X 的所有可能取值为 60，100且213100C1P Xpp，213601C1P Xpp 222113360 1C1100C1601201E Xpppppp令 21g ppp，0,1p，则 2121311gpppppp，当10,3p 时，0gp，g p 单调递增，当1,13p 时，0gp，g p 单调递减，所以 g p 的最大值为14327g 所以实施此方案的最高费用为4469000 60120107627（万元）因为 7680，所以不会超过预算3（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为50.1 1
15、50.2250.3350.25450.1526.5x 甲设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为 n，则0.20.1200.030.5n，解得226 3n 统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当；由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好两家工厂所生产的消毒液的质量
16、指标值的众数均等于 25两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为226 3 甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多（2）（）2.638.452PZPZ1222 PZPZ0.8186，因为1000000.818681860，所以可估计甲厂所生产的这 10 万瓶消毒液中，B 级消毒液有 81860 瓶（）设每瓶消毒液的利润为Y 元，则Y 的可能取值为 10，5，4，1038.45P YP ZP Z1 12PZ1 10.682720.15865，由（）知52.638.450.1816P YPZ，所以410.81860.158650.02
17、275P Y ，故Y 的分布列为Y1054P0.158650.8186002275所以每瓶消毒液的平均利润为 100.1586550.818640.022755.5885E Y （元），故生产半年消毒液所获利润为1 5.58855.5885（千万元），而 55885（千万元）4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资4（1）设男性患者有 z 人，则女性患者有 2z 人，列联表如下：型病型病合计男56z6zz女23z43z2z合计32z32z3z要使在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则225423263637.879333222zzzzzzKzzzz，
18、解得11.8185z，6z Z，3z Z，z 的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12 人；（2）设甲研发团队试验总花费为 X 元，则 X 的可能取值为 4m、5m、6m，2244P Xmppp，2222245112P Xmpppppp，22426121P Xmppp，42442241062126E Xmpm ppm ppmpm，226ympm 在0,1 递减，4E Xm，设乙研发团队试验总花费为Y 元，则Y 的可能取值为 3n、6n，2233233123P YnC qqqqq，326123P Ynqq，3232323236123696E Ynqqnqqnqnqn，设32696ynqnqn
19、，23661810ynqqnq q，函数32696ynqnqn在0,1 递减，64E Ynm，E XE Y恒成立，所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.5（1）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程模型（2）令 wx，先建立 y 关于 w 的线性回归方程由于88118822211()()108.8681.6()iiiiiiiiiiw ynw yww yydwnwww，由cydw 563686.8100.6，所以 y 关于 w 的线性回归方程为 100.668yw，因此 y 关于 x 的回归方程为 100.668yx.（3）由（2）知，当 x 49 时，年销售量 y 的预报值为100.668 49y 576.6，年利润 z 的预报值为 z 576.60.24966.32.根据（2）的结果知，年利润 z 的预报值z 0.2(100.668x)x x 13.6x 20.12，所以当x 13.626.8，即 x 46.24 时，z 取得最大值故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大
