1、专题09 二次函数与实际应用（喷水问题）一、单选题1（2021山东夏津九年级期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）A柱子的高度为B喷出的水流距柱子处达到最大高度C喷出的水流距水平面的最大高度是D水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外【答案】C【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题【详解】解：y=-
2、x2+2x+3=-（x-1）2+4，当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确，当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确，故选：C【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答2（2021安徽芜湖九年级月考）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（ ）ABCD【答案】D【分析】由题意可得
3、，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度【详解】解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，函数表达式为：，a0，故函数有最大值，当x=1时，y取得最大值，此时y=2，答：水流喷出的最大高度为2米故选：D【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案3（2021河北张家口中考一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线图2是
4、喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米当喷射出的水流距离喷水头20米时达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌下列说法正确的是（）A水流运行轨迹满足函数yx2x+1B水流喷射的最远水平距离是40米C喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌【答案】D【分析】A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，用待定系数法求得a的值即可求得答案；B、把y=0代入
5、函数yx2+x+1即可水流喷射的最远水平距离C、当x=20时y=11，减去2即可； D、向后平移后的解析式为，把x=37代入解析式求得y的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断【详解】解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，解得：，解析式为；故A不符合题意；B、当y=0时，；解得x= 2 +20，水流喷射的最远水平距离是2 +20米；故B不符合题意；C、当x=20时，y=11，11-2=9喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米故C不符合题意；D、向后平移后的解析式为，当x=37时，y=8.58.5-3=5.52.3，可
6、以避开对这棵石榴树的喷灌； 故选：D【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键二、填空题4（2021湖北襄阳中考真题）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是_ 【答案】3【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解【详解】解：，当x=1时，故答案是：3【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键5（2021浙江浙江九年级期末）图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪点为喷水口，水雾
7、喷出的路径可以近似看作抛物线的一部分（如图2），已知，则喷洒半径为_米（喷枪长度忽略不计）；现有一块四边形农田，它的四个顶点恰好在上（如图3），米，米，焊接一个底座支架可升高喷水口，如果喷水口上升时，水雾喷出的形状与原来相同，要使喷水区域覆盖整块四边形农田，那么喷水口点应至少升高_米【答案】40 10.5 【分析】由可知代入关系式可得，进而可知的长；连接并延长交于，可知，进而可得圆的半径，再把坐标代入升高后的关系式可得答案【详解】解：图2中，由可知，代入得：（米图3中，连接并延长交于，是直径，设，则，解得，即圆的半径是50喷水口上升时，水雾喷出的形状与原来相同，设底部支架高米，上升后水雾喷出的
8、路径，把代入可得喷水口点应至少升高10.5米故答案为：40；10.5【点睛】本题考查二次函数解析式的求法以及圆周角定理的推论，掌握待定系数法并正确作出辅助线是解题关键6（2021浙江湖州九年级月考）各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为，如果在离水面竖直距离为h（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程s（单位：）与h的关系式为，则射程s最大值是_（射程是指水流落地点离小孔的水平距离）【答案】20【分析】将s2=4h（20-h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可【详解】解：s
9、2=4h（20-h）=-4（h-10）2+400，当h=10cm时，s有最大值20cm当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；故答案为：20【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键7（2021浙江浙江九年级期末）某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了_米【答案】【分析】以地面为x轴，
10、中心立柱为y轴建立平面直角坐标系由题意可知抛物线的对称轴，即可设该抛物线解析式为，由该抛物线经过点(9，0)，即可求出该抛物线解析式为，即能求出平移后的解析式为，即可知D点坐标由点A和点C坐标利用待定系数法可求出经过点A、C的直线的解析式，又由于点D也在直线上，即可求出a的值即求出了平移后的抛物线解析式，最后令y=0，解出x的值，即能求出移动后水柱最远落点到中心M的距离增加的量【详解】解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）由题意可知C点坐标为(-4，0)喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高，故该抛物线的对称轴为设该抛物线解析
11、式为，又水柱最远落点到中心M的距离为9米，该抛物线又经过点(9，0)，即，该抛物线解析式为当x=0时，故点A坐标为(0，-27a)由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5平移后的抛物线为点D坐标为(3，)设经过点A、C的直线解析式为，解得即经过点A、C的直线解析式为又该直线经过点D解得：故平移后的抛物线解析式为，整理得：当时，即，解得：（舍）移动后最远落点到中心M的距离为米，移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了（米）故答案为：【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质，利用待定系数法求解析式以及一次函数的应用是解答本题的关键数据处理较大，较难8（20
12、21江苏滨海九年级期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是_【答案】【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a的值，再令x=0，求得y的值，即可得出答案【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），0=a（6-2）2+5，解得：，抛物线解析式为：当x=0时，水管的长度OA是m故答案为：【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用
13、，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键9（2021湖北武汉六中九年级月考）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为_m【答案】【分析】以喷水池中心A为原点，竖直安装的水管AB所在直线为y轴，与水管垂直的AD所在直线为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为ya（x1）2+3（0x3），将（3，0）代入求得a值，则x0时得的y值即为水管的长【详解】以喷水池中心A为原点，竖直安装的水管AB所在直线为y轴，与水管垂直的AD所在直线为x轴建立直角坐
14、标系，由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，所以设抛物线的解析式为：ya（x1）2+3（0x3），代入（3，0），得：0=a（3-1）2+3，解得：a将a值代入得到抛物线的解析式为：y（x1）2+3（0x3），令x0，则y即水管AB的长为m，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键10（2020福建福州九年级月考）学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面土有一瓶洗手液(如图)，于是好奇的小王同学进行了实地测量研究当小王用一定的力按住顶部A下压如图位置时
15、，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a= 洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm， 喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是_cm 【答案】12【分析】根据题意得出各点坐标，进而利用待定系数法求抛物线解析式进而分析求解【详解】解：如图，以GH所在的直线为x轴，GH的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，喷口B为抛物线的顶点，B，D，H所在的直线是抛物线的对称轴， GH=12，喷嘴位置点B距
16、台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线.小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心到直线DH的水平距离为3cm， 点G（-6，0），点H（6，0），BH=16， 点B（6，16），点Q（9，15.5） a= 设函数解析式为 当y=0时， 解之：（舍去） 洗手液落在台面的位置距DH的水平距离为 故答案为：【点睛】本题考查二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算三、解答题11（2021湖北省水果湖第一中学九年级月考）一台自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管在高出地面1.5米的A处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线状，喷头A与水流最高点B连线
17、与y轴成角，水流最高点B比喷头A高2米（1）求抛物线解析式；（2）求水流落地点C到O的距离；（3）若水流的水平位移s米（抛物线上两对称点之间的距离）与水流的运动时间t之间的函数关系为，求共有几秒钟，水流的高度不低于2米？【答案】（1）y0.5（x2）23.5；（2）2；（3）【分析】（1）作BDy轴于点D，由DAB45，就可以求出ADBD2，就可以求出B的坐标，设抛物线的解析式为ya（x2）23.5，由待定系数法求出其解即可；（2）当y0时代入（1）的解析式求出其解即可；（3）当y2时代入（1）的解析式求出s的值，再将s的值代入t0.8s求出t的值即可【详解】解：（1）作BDy轴于点D，ADB
18、90DAB45，ABDDBA45，ADBD2，OA1.5，B（2，3.5），A（0，1.5）设抛物线的解析式为ya（x2）23.5，由题意，得1.54a3.5，解得：a0.5y0.5（x2）23.5答：抛物线解析式为y0.5（x2）23.5；（2）当y0时，00.5（x2）23.5解得：x12，x22（舍去），水流落地点C到O点的距离为2；（3）当y2时，20.5（x2）23.5解得：x32，x42，水流位移的距离为：2（2）2，t0.82，共有秒钟，水流高度不低于2米【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关
19、键12（2021浙江浙江九年级期末）“科学防控疫情，文明实践随行，讲卫生，勤洗手，常通风，健康有”现有一瓶洗手液如图1所示已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧和，它们的圆心分别为点D和点C，下部分是矩形，且，点E到台面的距离为，如图2所示，若以所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，当手按住项部才下压时，洗手液从喷口B流出，其路线呈抛物线形，此时喷口B距台面的距离为，且到的距离为，此时该抛物线形的表达式为，且恰好经过点E（1）请求出点E的坐标，并求出b，c的值（2）接洗手液时，当手心R距所在直线的水平距离为时，手心R距水平台面的高度为多少？（3）如果该洗手液的路线与的交点为
20、点P，请求出的正切值【答案】（1），；（2）；（3）3【分析】（1）过点E作，交CD于M，连接ED，根据矩形的性质得到、，利用勾股定理求出MD的长度，即可得出点E的坐标，利用待定系数法将点E和点B的坐标代入，求出b和c的值；（2）根据题意可得出R的横坐标，代入二次函数解析式即可；（3）求出点P的横坐标，利用正切的定义即可求解【详解】解：（1）过点E作，交CD于M，连接ED，四边形CGHD是矩形，由题意可知，O为GH的中点，点E的坐标为，把点和点代入可得：，解得；（2）当手心R距所在直线的水平距离为时，手心R的横坐标为8，当时，当手心R距所在直线的水平距离为时，手心R距水平台面的高度为；（3）该
21、洗手液的路线与的交点为点P，即为抛物线与x轴正半轴的交点，当时，（负值已舍去），过点B作，则，【点睛】本题考查二次函数的实际应用，将实际问题与函数图象结合起来是解题的关键13（2021浙江金华中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为（1）求雕塑高OA（2）求落水点C，D之间的距离（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明【答案】（1）；（2）22米；（3）不会【分
22、析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上当时，（2）由题意得，D点在图象上令，得解得：（不合题意，舍去）（3）当时，不会碰到水柱【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质14（2021浙江绍兴市九年级期末）某喷泉中间的喷水管，喷水点向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为轴，喷水管所在直线为轴，喷水管与地面的接触点为原点建立直角坐标系，如图所示，已知喷出的水柱距原点处达到最高，高度为（1）
23、求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式（2）身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？【答案】（1）；（2）不会被水喷到；（3）【分析】（1）结合题意，根据抛物线顶点坐标，将抛物线解析式设为顶点式，然后利用待定系数法求解；（2）解法一：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当x=4时y的值，由此即可得出结论；解法二：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.7时x的值，由此即可得出结论；（3）设改建后抛物线的解析式为，然后根据抛
24、物线上的点的坐标特征，利用待定系数法求解【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为（）把，代入得，解得令y=0，解得：抛物线（第一象限）的表达式为（2）解法一：对于，令，则，小明不会被水喷到解法二：令，则，解得，小明不会被水喷到（3）设喷水管的高度要升高（），则抛物线的表达式为把代入得，解得喷水管的高度要升高【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，利用数形结合思想解题是关键15（2021浙江九年级期末）如图1，游乐园要建行一个直径为20的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头如图2，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，根据下表记录
25、的水柱高度（）与水柱距离喷水池中心的水平距离（）之间的关系画出部分图象水柱距离喷水池中心的水平距离（）025810水柱的高度（）46.4740（1）位于第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，请你在所给的平面直角坐标系第二象限画出它的图象；（2）该种喷水头喷水的最大高度是多少？（3）为了形成不同高度的喷水景观，在地面上安装了另一种喷水头，它的位置在直角坐标系中可用表示，喷水水柱形状与 形状相同，喷出的水柱最大高度为6.25米，水柱下落时也过点，求该种喷水头安装的位置的坐标【答案】（1）见解析；（2）该种喷水头的最大高度是7.2米；（3）喷水头的安装位置是【分析】（1）根据关于y轴对称，画
26、出图象即可；（2）用待定系数法求得抛物线的解析式并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（3）设第一象限抛物线的解析式是（b0），利用喷出的水柱最大高度为6.25米得关于b的方程，求得b值，从而可得抛物线的解析式；再令y0，可得b0时的抛物线与x轴的交点横坐标，根据对称性及下落时过点（0，4），可得答案【详解】解：（1）如图是所求作的图形（2）由题意可知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的坐标为可设抛物线的解析式是，把代入得，所以该种喷水头的最大高度是72米（3）喷水水柱形状与的形状相同，设第一象限抛物线的解析式是（b0），喷出的水柱最大高度为6.25，解得，令得
27、或，水柱下落时过点（0，4），该种喷水头安装的位置是（8，0）或（8，0）【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键16（2021安徽合肥中考三模）某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1) 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由.(2)为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些
28、喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）.【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案；（2）根据对称轴为x=4，可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，代入即可求解【详解】（1）由题意可得：当x0时，抛物线解析式为：ya（x4）26，把(10,0)代入得0a（104）26解得：a，故抛物线解析式为：y（x4）26；令x=0，解得y=故这个装饰物的高度为m；（2）当x0时，抛物线的
29、对称轴为x=4由题意可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，当x4.5时，y=答：直线型喷水头最高喷射高度为米【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键17（2019福建宁德中考一模） 如图1，已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度vx和纵向初始速度vy，是水龙头的仰角，且v02=vx2+vy2图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度OA为15米，山坡的坡比为离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点M是运动过程中的某一位置忽略空气阻力，实验表
30、明：M与A的高度之差d（米）与喷出时间t（秒）的关系为d=vyt-5t2；M与A的水平距离为vxt米已知该水流的初始速度v0为15米/秒，水龙头的仰角为53（1）求水流的横向初始速度vx和纵向初始速度vy；（2）用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围）；（3）水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树，在相同仰角下，则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米？（参考数据：sin53，cos53，tan53）【答案】（1）水流的横向初始速度vx是9米/秒，纵向初始速度vy是12米/秒；（2）y=-+x+15；（3）
31、水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是27米，需要把喷射点A沿坡面AB方向移动米【分析】（1）根据题意利用的正弦和余弦定义可得结论；（2）由（1）的表示出vx表示出x，OA已知，利用y=d+OA，代入OA的值和d与t的函数关系式，可以得解；（3）先求得点A和点B的坐标，进而写出其直线解析式，再将其与（2）中抛物线解析式联立，从而求得落点C的坐标，再利用平移知识及勾股定理可以求解【详解】解：（1）v0为15米/秒，水龙头的仰角为53，cos=，sin=，vx=15cos53=15=9，vy=15sin53=15=12；答：水流的横向初始速度vx是9米/秒，纵向初始速度vy是12米/秒；（2）
32、x=vxt=9t，t=，又M与A的高度之差d（米）与喷出时间t（秒）的关系为d=vyt-5t2y=d+OA=12t-5t2+15=-5+12+15=-+x+15；y与x的关系式为：y=-+x+15（3）坡顶的铅直高度OA为15米，山坡的坡比为，OB=45米，点A（0，15）点B（45，0）直线AB的解析式为：y=+15，将其与抛物线解析式联立得：，解得（舍）或，水流在山坡上的落点C坐标为（27，6），喷射点A沿坡面AB方向移动的距离等于BC的距离，而BC=米，答：水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是27米，需要把喷射点A沿坡面AB方向移动米【点睛】本题考查了二次函数的应用以及坡度问题和解直角三角形的应用等知识，正确构造出直角三角形是解题关键25原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！