1、考点一抛物线的定义与标准方程1.(2014课标,10,5分,0.679)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.1 B.2 C.4 D.8五年高考A组统一命题课标卷题组答案 A 由y2=x得2p=1,即p=,因此焦点F,准线方程为l:x=-,设点A到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+=x0,解得x0=1,故选A.思路分析 由|AF|=x0结合抛物线的定义求解.2.(2013课标全国,11,5分,0.474)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方
2、程为()A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x答案 C以MF为直径的圆过点(0,2),点M在第一象限.由|MF|=xM+=5得M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为,点N的横坐标恰好等于圆的半径,圆与y轴切于点(0,2),从而2=,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.方法总结 求圆锥曲线的标准方程一般用待定系数法求解.解题的关键是由题设利用数形结合的方法建立方程.3.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的
3、交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-
4、y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、四点共
5、圆等基础知识.考查解析几何的基本思想方法,考查运算求解能力和综合解题能力.第(2)问中将直线l的方程设为x=my+1(m0),这样可以避免讨论斜率不存在的情形,使问题简单化.1.(2013课标全国,8,5分,0.718)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则POF的面积为()A.2 B.2 C.2 D.4考点二抛物线的几何性质答案 C 如图,设点P的坐标为(x0,y0),由|PF|=x0+=4,得x0=3,代入抛物线方程得,=43=24,所以|y0|=2,所以SPOF=|OF|y0|=2=2.故选C.思路分析 由对称性不妨设点P在第一象限,利用|PF|=
6、4求点P的坐标,最后由三角形的面积公式求解.2.(2016课标全国,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8答案 B 不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2),则x1=,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.故选B.思路分析 圆的弦长问题应利用勾股定理求解,由|OA|=|OD|,即同圆的半径相等,建立关于p的方程求解.方法总结(1)圆的弦长问题一般要解直角三角形,利用勾股定理求解;(2)求值问题应重视方程的思想方法的运用.3.(2017课标全
7、国,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案6解析 如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.思路分析 过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解.方法总结 当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义在解题中的重要作用.考点一抛物线的定义与标准方程1.(2014
8、安徽,3,5分)抛物线y=x2的准线方程是()A.y=-1 B.y=-2C.x=-1 D.x=-2B组自主命题省（区、市）卷题组答案 A 由y=x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-=-1.故选A.2.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9解析 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,x0=9,即点M到y轴的距离为9.评析 本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用.1.(2013四川,6,5分)抛物线y2=
9、4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是()A.B.C.1 D.考点二抛物线的几何性质答案 B 由抛物线y2=4x,有2p=4p=2,焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=x,不妨取其中一条x-y=0,由点到直线的距离公式,有d=.故选B.评析 考查抛物线及双曲线的基本性质,点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力.2.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D.1答案 C 设P(x,y),|PM|=2|MF|,=2,又F,kOM=,由题易
10、知kOM最大时y0,kOM=,当且仅当x=p时取等号.思路分析 设出p(x,y),由定比分点坐标公式可求M点坐标,而kOM=,再用基本不等式即可解决.3.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案2解析 抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-(p0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,得p=2.4.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.答案6解析如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD=p,B点
11、坐标为.又点B在双曲线上,故-=1,解得p=6.5.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y
12、2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.方法总结 在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示 在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是否为0.6.(2013辽宁,20,12分)如图,抛物线C1:x2=4y
13、,C2:x2=-2py(p0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.(1)求p的值;(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).解析(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为.故切线MA的方程为y=-(x+1)+,因为点M(1-,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=-(2-)+=-,y0=-=-.由得p=2.(6分)(2)设N(x,y),A,B,x1x2,由N为线段AB中点知x=,y=.切
14、线MA、MB的方程为y=(x-x1)+,y=(x-x2)+.由得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=,y0=.因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所以x1x2=-.由得x2=y,x0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.(12分)评析本题考查了导数的几何意义、直线与曲线相切、求轨迹方程,考查了函数与方程思想,具有一定的运算量,难度中等.7.(2013广东,20,14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,
15、PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值.解析(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由=结合c0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y=x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为 x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所
16、以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0 x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0 x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.所
17、以当y0=-时,|AF|BF|取得最小值,且最小值为.评析 本题主要考查抛物线的方程、定义、点到直线的距离,与抛物线切线有关的问题,考查待定系数法求曲线的方程以及用函数思想求最值.考查学生基本知识的应用能力和基本运算求解能力.第(2)问的关键是利用导数的几何意义表示出A,B两点处切线的斜率,进一步写出方程,利用方程思想表示出直线AB方程;第(3)问的主要方法是把|AF|BF|表示成x0或y0的函数,利用函数思想求出其最小值.考点一抛物线的定义与标准方程1.(2014上海,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.C组教师专用题组答案x=-2解析c2=
18、9-5=4,c=2.椭圆+=1的右焦点为(2,0),=2,即p=4.抛物线的准线方程为x=-2.2.(2013湖南,21,13分)过抛物线E:x2=2py(p0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10,k20,证明:0,k20,k1k2,所以0k1k2=1.故 0,所以点M到直线l的距离d=.故当k1=-时,d取最小值.由题设知=,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2
19、=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()A.B.C.D.考点二抛物线的几何性质答案 A 过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.可知=,故选A.2.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=.答案1+解析|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p0)经过C、F两点,从而有即b2=a2+2ab,-2-1=0,又1,=1+.一、选择题(每题
20、5分,共15分)1.(2017辽宁沈阳监测(一),4)抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为()A.1 B.2 C.4 D.8三年模拟A组 20152017年高考模拟基础题组(时间：40分钟分值：50分)答案 B 由x2=2py的焦点到准线的距离为p得x2=4y的焦点到准线的距离为2,故选B.2.(2017辽宁鞍山铁东四模,7)过抛物线y2=2px(p0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10,则抛物线方程是()A.y2=4x B.y2=2xC.y2=8x D.y2=6x答案 C 设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,P(x1,y1),Q(x2,y2),由
21、抛物线的定义可得|PQ|=|PF|+|QF|=x1+x2+=(x1+x2)+p,线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10,10=6+p,得p=4,抛物线方程为y2=8x,故选C.3.(2016甘肃张掖一诊)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=()A.9B.8C.7D.6答案 B 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故选B.二、填空题(每题5分,共10分)4.(2017陕西宝鸡质检(一),13)抛物线y2=4x上的
22、点P到它的焦点F的最短距离为.答案1解析 设点P的横坐标为x0,且x00,则|PF|=x0+1,故其最小值是0+1=1.5.(2016全国卷先行试验考区名校名师原创卷二,15)已知抛物线C:y2=2x和直线l:3x-4y=-24.若在抛物线C上存在一动点P,记该点到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为.答案解析 由题意知,抛物线的焦点为,联立得消去y得9x2+112x+576=0,0)的焦点为F,准线交x轴于点H,过H作直线l交抛物线于A,B两点,且|BF|=2|AF|.(1)求直线AB的斜率;(2)若ABF的面积为,求抛物线的方程.解析(1)过A,B两点作准线的垂线
23、,垂足分别为A1,B1,易知AF=AA1,BF=BB1,|BF|=2|AF|,|BB1|=2|AA1|,A为HB的中点,又O是HF的中点,AO是BHF的中位线,|AO|=|BF|=|AF|,而F,xA=,=2p=,yA=p,A,而H,kAB=kAH=.(2)A为HB的中点,O是HF的中点,SABF=SAHF=2SAHO=2|OH|yA|=p2,p2=,p=2,抛物线的方程为y2=4x.7.(2015东北四市一模,20)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在y轴正半轴上,过点F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的长是8,AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程;(2)在抛物线上是否存在
24、不与原点重合的点P,使得过点P的直线交抛物线于另一点Q,满足PFQF,且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直?请说明理由.解析(1)设抛物线的标准方程是x2=2py(p0),A(xA,yA),B(xB,yB),由抛物线定义可知yA+yB+p=8,又AB的中点到x轴的距离为3,yA+yB=6,p=2,抛物线的标准方程是x2=4y.(2)存在.设P(x1,y1),x10,Q(x2,y2),由y=x2,得y=,抛物线在P处的切线斜率为,若直线PQ与切线垂直,则直线PQ:y-y1=-(x-x1),即直线PQ:y=-x+2+y1,代入x2=4y得x2+x-4(2+y1)=0,故x1+x2=-,x1x2=-
25、8-4y1,所以x2=-x1,y2=+4+=+4+y1=+4+y1,则=(x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(-8-4y1)+(y1-1)=-2y1-7=0,即-2-7y1-4=0(y10),得(y1+1)2(y1-4)=0,所以y1=4,故存在点P(4,4)满足条件.一、选择题(共5分)1.(2016云南昆明两区七校联考,9)过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且直线l的倾斜角,点A在x轴上方,则|FA|的取值范围是()A.B.C.D.B组 20152017年高考模拟综合题组(时间：30分钟分值：40分)答案 D 设点A的横坐标为x1,
26、则|FA|=x1+=+=+|AF|cos,所以|AF|=,由得-1cos,2-2(1-cos)4,0)的准线为L,焦点为F,M的圆心在y轴的正半轴上,且与x轴相切,过原点作倾斜角为的直线n,交L于点A,交M于另一点B,且|AO|=|OB|=2.(1)求M和抛物线C的方程;(2)过L上的动点Q作M的切线,切点为S、T,求当坐标原点O到直线ST的距离取得最大值时,四边形QSMT的面积.三、解答题(共25分)解析 如图,连接MB,ST.(1)设准线L交y轴于N,在RtOAN中,OAN=,|ON|=1,p=2,则抛物线的方程是x2=4y.在OMB中,有OM=BM,MOB=,OMB为等边三角形,OM=O
27、B=2,M的方程是x2+(y-2)2=4.(2)设S(x1,y1),T(x2,y2),Q(a,-1),切线SQ:x1x+(y1-2)(y-2)=4,切线TQ:x2x+(y2-2)(y-2)=4,SQ和TQ交于Q点,ax1-3(y1-2)=4,ax2-3(y2-2)=4,直线ST:ax-3y+2=0.原点到直线ST的距离d=,当a=0,即Q在y轴上时,d有最大值,此时直线ST的方程为y=.代入x2+(y-2)2=4,得x=.|ST|=,|MQ|=3.此时四边形QSMT的面积S=3=2.5.(2016新疆适应性检测二)已知抛物线C:y2=2px(p0)的内接等边三角形AOB的面积为3(其中O为坐标
28、原点).(1)试求抛物线C的方程;(2)已知点M(1,1),P、Q两点在抛物线C上,MPQ是以点M为直角顶点的直角三角形.(i)求证:直线PQ恒过定点;(ii)过点M作直线PQ的垂线交PQ于点N,试求点N的轨迹方程,并说明其轨迹是何种曲线.解析(1)依题意,设A(xA,yA),B(xB,yB),则由|OA|=|OB|,得+2pxA=+2pxB,即(xA-xB)(xA+xB+2p)=0,因为xA0,xB0,所以xA+xB+2p0,故xA=xB,|yA|=|yB|,则A,B关于x轴对称,ABx轴,且AOx=30,所以=tan 30=,因为xA=,所以|yA|=2p,所以|AB|=2|yA|=4p,
29、故SAOB=(4p)2=12p2=3,p=,故抛物线C的方程为y2=x.(2)(i)由题意可设直线PQ的方程为x=my+a,P(x1,y1),Q(x2,y2),由得y2-my-a=0,故=m2+4a0,y1+y2=m,y1y2=-a.因为PMQ=90,所以=0,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,整理得x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0,-(y1+y2)2+3y1y2-(y1+y2)+2=0,即a2-m2-3a-m+2=0,得=,所以a-=m+或a-=-.当a-=m+,即a=m+2时,直线PQ的方程为x=my+a=m(y+1)+2,过定点H(2,-
30、1);当a-=-,即a=-m+1时,直线PQ的方程为x=my+a=m(y-1)+1,过定点(1,1),不合题意舍去.故直线PQ恒过定点H(2,-1).(ii)设N(x,y),则,即 =0,得(x-1)(x-2)+(y+1)(y-1)=0,即x2+y2-3x+1=0(x1),即轨迹是以MH为直径的圆(除去点(1,1).思路分析(1)由对称性知ABx轴,利用正三角形的性质和三角形的面积进行求解.(2)(i)可设PQ的方程为x=my+a,由=0结合韦达定理进行运算,得到m、a之间的等量关系,进而判定直线PQ恒过定点;(ii)利用 =0求点N的轨迹方程.解题关键 利用韦达定理,由=0建立m与a之间的关系是证明直线PQ过定点的关键.