1、1.(2016课标全国,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.2五年高考A组统一命题课标卷题组答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为=1,解得a=-.故选A.思路分析 根据圆的方程求出圆心坐标,利用点到直线的距离公式求解.易错警示(1)圆心坐标错写成(-1,-4);(2)把点到直线的距离公式记错或用错.2.(2016课标全国,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两
2、点.若|AB|=2,则|CD|=.答案4解析 由题意可知直线l过定点(-3,),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,),由于|AB|=2,r=2,所以圆心到直线AB的距离为d=3,又由点到直线的距离公式可得d=3,解得m=-,所以直线l的斜率k=-m=,即直线l的倾斜角为30.如图,过点C作CHBD,垂足为H,所以|CH|=2,在RtCHD中,HCD=30,所以|CD|=4.思路分析 注意到直线l过定点(-3,),而该点恰在圆上,利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式,结合圆的性质解直角三角形即可.解后反思 涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解.
3、1.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+=0或2x-y-=0B组自主命题省（区、市）卷题组答案 A 切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c1),结合题意可得=,解得c=5.故选A.2.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2 B.4 C.6 D.
4、2答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=6.故选C.3.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.反射光线所在直线与圆相切,=1,解得k=-或k=-.评
5、析 本题主要考查直线和圆的位置关系.解题的关键是:反射光线所在直线必经过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3).4.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为()A.B.C.(6-2)D.答案 A 由题意得以AB为直径的圆C过原点O,圆心C为AB的中点,设D为切点,要使圆C的面积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD最小,其最小值为OE(过原点O作直线2x+y-4=0的垂线,垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=,圆C面积的最小值为=.故选A.5.(2013山东,9,5分)过
6、点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0答案 A 如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又kABkPC=-1,且kPC=,kAB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.6.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a=.答案4解析 易知ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为,即=,解得a=
7、4.经检验均符合题意,则a=4.评析 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合能力要求较高.7.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=2解析 由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由mR知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为=,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.8.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1
8、分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.答案2解析 由题意知直线l1和l2与单位圆C所在的位置如图.因此或故a2+b2=1+1=2.评析 本题考查了直线和圆的位置关系,考查了直线的斜率和截距,考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出a和b的值是解题的关键.1.(2013江西,9,5分)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.B.-C.D.-C组教师专用题组答案 B 如图,设直线AB的方程为x=my+(显然m0,所以m21,由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=,SAOB=SPOB-SPOA=|OP|y2-y1|=.令
9、t=1+m2(t2),SAOB=,当=,即t=4,m=-时,AOB的面积取得最大值,此时,直线l的斜率为-,故选B.评析 本题考查直线与圆的位置关系,解析几何中的面积问题,以及转化与化归思想,数形结合思想.考查学生的运算求解能力,属中档题.2.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:=;-=2;+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)答案(1)(x-1)2+(y-)2=2(2)解析(1)设圆心C(
10、a,b),半径为r,圆C与x轴相切于点T(1,0),a=1,r=|b|,又圆C与y轴正半轴交于两点,b0,则b=r.|AB|=2,2=2,r=,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)设N(x,y),而A(0,-1),B(0,+1),则=,又x2+y2=1,=(+1)2,=+1,同理,=+1.=,且-=+1-=2,+=+1+=+1+-1=2,故正确结论的序号是.3.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:+=1(ab0)过点(0,),且离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由
11、.解析 解法一:(1)由已知得解得所以椭圆E的方程为+=1.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.=(1+m2)(-y1y2),故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=0,所以|GH|.故点G在以AB为直径的圆外.解法二:(1)同解法一.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而 =+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+
12、m(y1+y2)+=+=0,所以cos0.又,不共线,所以AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.评析 本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.4.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)
13、2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0),则x0=,y0=.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得=36-20(1+t2)0(*),x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.因为+=+=3x0,所以+=.由(*)解得t2,又t20,所以 2,即c2a2+b2.故ABC是钝角三角形,故选C.3.(2017甘肃兰州二模,6)若圆x2+y2+4x-2y-a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2,则实数a=()A.2 B
14、.-2 C.4 D.4答案 A 圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=5+a2,r2=5+a2,则圆心(-2,1)到直线x+y+5=0的距离为=2,由12+(2)2=5+a2,得a=2,故选A.4.(2017陕西高三质检(一),8)圆:x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是()A.1+B.2 C.1+D.2+2答案 A 将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,则圆心坐标为(1,1),半径为1,所以圆心到直线x-y=2的距离d=,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=+1,选A.5.(2017陕西汉中二模,9)已知P是直线3x+4y+8=0上的
15、动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为()A.2 B.2 C.3 D.3答案 A 如图,设PC=d,则由圆的知识和勾股定理可得PB=PA=,四边形PACB面积S=2PABC=,当d取最小值时,S取最小值,由点P在直线上运动可知当PC与直线垂直时,d取最小值,此时d恰为C到已知直线的距离,圆心坐标为(1,1),由点到直线的距离公式可得d=3,四边形PACB面积的最小值为2.故选A.6.(2016贵州五校联考,6)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C
16、.-6D.-8答案 B 圆x2+y2+2x-2y+a=0 即(x+1)2+(y-1)2=2-a,则圆心为点(-1,1),故弦心距d=.再由弦长公式可得 2-a=2+4,a=-4,故选B.7.(2016辽宁抚顺二模,7)已知直线l:kx+y-2=0(kR)是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴,过点A(0,k)作圆C的一条切线,切点为B,则线段AB的长为()A.2 B.2 C.3 D.2答案 D 由圆C:x2+y2-6x+2y+9=0得(x-3)2+(y+1)2=1,则C(3,-1).由题意可得,直线l:kx+y-2=0经过圆C的圆心(3,-1),故有3k-1-2=0,解得k=1,则点A
17、(0,1),则|AC|=.故线段AB的长为=2.故选D.二、填空题(每题5分,共15分)8.(2017甘肃嘉峪关三模,14)直线l:x+4y=2与圆C:x2+y2=1交于A、B两点,O为坐标原点,若直线OA、OB的倾斜角分别为,则cos+cos=.答案解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由三角函数的定义得cos+cos=x1+x2,由消去y得17x2-4x-12=0,则x1+x2=,即cos+cos=.9.(2015黑龙江哈尔滨三中三模,14)若直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是.答案y=x+1解析 直线l过定点(0,1),圆C可化为(x
18、-1)2+y2=4.当过定点(0,1)和圆心(1,0)的直线与l垂直时,直线l被圆C截得的弦最短,易知此时k=1,故直线l的方程为y=x+1.10.(2015吉林实验中学二模,15)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,O是坐标原点,向量、满足|+|=|-|,则实数a的值为.答案2解析向量、满足|+|=|-|,与垂直,设A(m,n),B(p,q),则 =mp+nq=0.由得2x2-2ax+a2-4=0,m+p=a,pm=,mp+nq=mp+(a-m)(a-p)=2mp-a(m+p)+a2=a2-4=0,a=2.一、选择题(每题5分,共30分)1.(2017内蒙古包头二模,7)已知
19、点P(a,b)(ab0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么()A.ml,且l与圆相交 B.ml,且l与圆相切C.ml,且l与圆相离 D.ml,且l与圆相离B组 20152017年高考模拟综合题组(时间：20分钟分值：35分)答案 C点P(a,b)(ab0)在圆内,a2+b2=r,l与圆相离.故选C.思路分析 利用弦的中点的性质求直线m的斜率,进而判定直线m与直线l的位置关系.再利用圆心到直线l的距离求解l与圆的位置关系.解题关键 由弦的中点的性质求得直线m的斜率是关键.2.(2017辽宁马鞍山二模,4)过点(3,6)的直线被圆x
20、2+y2=25截得的弦长为8,则这条直线的方程是()A.3x-4y+15=0 B.3x+4y-33=0C.3x-4y+15=0 D.3y+4y-33=0或x=3答案 C 圆心(0,0),r=5,圆心到直线的距离为=3.若直线斜率不存在,则直线方程为x=3,圆心到直线距离为|0-3|=3,成立;若斜率存在,则y-6=k(x-3),即kx-y-3k+6=0,圆心到直线距离为=3,解得k=.综上,直线方程为x-3=0或3x-4y+15=0,故选C.易错警示 容易忽视直线斜率不存在的情形.3.(2017陕西渭南4月模拟,7)已知直线ax+by-8=0(a0,b0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦
21、长为2,则ab的最大值是()A.B.4 C.D.8答案 D 由圆x2+y2-2x-4y=0,得(x-1)2+(y-2)2=5,圆心(1,2),半径r=,直线ax+by-8=0(a0,b0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为2,圆心(1,2)在直线ax+by-8=0上,a+2b=8,a0,b0,2ab=16,即ab8,当且仅当a=2b=4时,ab取最大值8,故选D.4.(2017宁夏银川二模,8)圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a0,b0)对称,则+的最小值是()A.2 B.C.4 D.答案 D 由圆x2+y2+2x-6y+1=0知其标准方程为(x+1)2+(
22、y-3)2=9,圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a0,b0)对称,该直线经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0,a+3b=3(a0,b0).+=(a+3b)=,当且仅当=,即a=b时,取得最小值,故选D.解题关键 利用对称性建立a,b之间的关系,进而进行“整体运算”是关键.5.(2016辽宁盘锦二模,8)已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点,O为坐标原点,若=,则实数m=()A.1 B.C.D.答案 C 由得2x2+2mx+m2-1=0.=4m2-8(m2-1)0,即-m0,b0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是()
23、A.4 B.2 C.2 D.答案 D 函数f(x)的导数f(x)=-eax,在x=0处的切线斜率k=f(0)=-,f(0)=-,切点坐标为,则在x=0处的切线方程为y+=-x,即切线方程为ax+by+1=0,切线与圆x2+y2=1相切,圆心到切线的距离d=1,整理得a2+b2=1,a0,b0,可设a=sin,b=cos,0,则a+b=sin+cos=sin,0,+0,b0)求a+b的最值时,令a=sin,b=cos,0,进而利用三角函数求解,充分体现了数形结合和转化的思想方法.求解的过程值得深思.二、填空题(共5分)7.(2016贵州贵阳高三第一学期期末)在平面直角坐标系中,已知点P(3,0)
24、在圆C:(x-m)2+(y-2)2=40内,动直线AB过点P且交圆C于A、B两点,若ABC的面积的最大值为20,则实数m的取值范围是.答案(-3,-17,9)解析 因为P(3,0)在圆C内,所以(3-m)2+(0-2)240m(-3,9),SABC=|CB|AC|sinACB=20sinACB,若SABC的最大值为20,则存在直线AB,使得ACB=.易知当直线AB的斜率不存在,且m=32时,ACB=.当直线AB的斜率存在时,可设其斜率为k,则AB的方程为y=k(x-3)kx-y-3k=0,若ACB=,则ACB为腰长为2的等腰直角三角形,则|AB|=|CA|=4,结合点到直线的距离公式得2=,化简得(m2-6m-11)k2-4(m-3)k-16=0(*),由题意知关于k的方程(*)有解.当m2-6m-11=0,即m=32时,显然方程(*)有解;当m2-6m-110,即m32时,方程(*)有解等价于=16(m-3)2+416(m2-6m-11)=80(m2-6m-7)0,解得m7或m-1.综上可知m(-3,-17,9).