1、第5课时 圆的极坐标方程1曲线与方程(1)在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程f(x，y)0之间满足如下关系：曲线C上的任意一点的坐标_方程f(x，y)0的解；以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上则曲线C叫做方程f(x，y)0的曲线，方程f(x，y)0叫做曲线C的方程都是(2)在极坐标系中，如果曲线C与方程f(，)0之间满足如下关系：曲线C上的任意一点的极坐标中_满足方程f(，)0；以方程f(，)0的解为坐标的点都在曲线C上则曲线C叫做方程f(，)0的曲线，方程f(，)0叫做曲线C的方程至少有一个2圆的极坐标方程：在极坐标系中(1)以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是_；(2)
2、以 C(a,0)(a0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是_；(3)以 Ca，2(a0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是_；(4)以 C(a，)(a0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是_；r 2acos 2asin 2acos (5)以 Ca，32(a0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是_；(6)以 C(a，0)(a0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是_；(7)以 C(0，0)(00)为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是_2asin 2acos(0)22020cos(0)r21极坐标方程2cos 4sin 化为直角坐标方程是()A(x1)2(y2)25B(x1)2(y2)25
3、C(x1)2(y2)25D(x2)2(y1)25【答案】C【解析】将方程 2cos 4sin 两边同乘以，得 22cos 4sin，将公式xcos，ysin 代入得 x2y22x4y0，配方得(x1)2(y2)252.下列方程中表示圆心在极点，半径为2的圆是()A2 B22C4 D(2)24【答案】A【解析】可由圆的极坐标方程直接判断，也可转化为直角坐标方程解决3在极坐标中，圆 2cos 的半径为()A12 B1 C2 D4【答案】B【解析】由2cos，得22cos，化为直角坐标方程得x2y22x，即(x1)2y21.所以圆2cos 的半径为1.故选B4探讨极坐标方程分别为cos 与sin 的
4、两个圆位置关系？【解析】将方程两边同乘以，得 2cos，利用互化公式将其转化为直角坐标方程为 x2y2x0,即x122y214，圆心为12，0，r112同理将 sin 转化为直角坐标方程为 x2y2y0，即 x2y12214，圆心为0，12，r212.则圆心距为122122 22r1r21，所以两圆相交【例 1】在满足直角坐标与极坐标互化的情况下：(1)把直角坐标方程 x2y22x0 化为极坐标方程；(2)把极坐标方程 4 化为直角坐标方程；(3)把极坐标方程 cos4 化为直角坐标方程极坐标方程与直角坐标方程的互化【解 题 探 究】将 互 化 公 式xcos，ysin，2x2y2，tan y
5、xx0熟练运用，如若不满足公式，考虑如何将条件进行适当变形【解析】(1)将公式xcos，ysin 代入方程 x2y22x0得 22cos 0，0 或 2cos 0 满足 2cos，方程为 2cos(2)由 4 两边同时平方得 216，所以直角坐标方程为 x2y216(3)cos4 22 cos 22 sin，两边同乘以 得 2 22 cos 22 sin，即直角坐标方程为 x2y2 22 x 22 y0掌握圆的极坐标方程和直角坐标方程的几种互换方法：两边平方；两边同乘以；两边同除以等1将下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)cos 2sin；(2)2cos2【解析】(1)cos 2sin，两边同
6、时乘以，得2cos 2sin，得x2y2x2y，即x2y2x2y0(2)2cos2两边同时乘2，得42cos2(cos)2，所以(x2y2)2x2，即有x2y2x或x2y2x【例 2】(1)写出圆心为点(3,0)且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程；(2)写出圆心为点2，2 且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程求圆的极坐标方程【解题探究】可利用圆的极坐标方程的公式，也可改变求解的先后顺序，先求直角坐标方程，再转化为极坐标方程【解析】(1)如图，设 M 为圆上除O，P 外的任意一点，其极坐标为 M(，)，连接 MO，MP，则MOP 为直角三角形且OMP2OP6，OMOPc
7、os，则有方程 6cos，可以验证O0，2，P(6,0)也满足方程，所以所求圆的极坐标方程为 6cos 两边同乘以 得 26cos，得方程为 x2y26x，即(x3)2y29 为圆的直角坐标方程(2)解法一：如图，设 M 为圆上除O，P 外的任意一点，其极坐标为 M(，)，连接 MO，MP，则MOP 为直角三角形且OMP2，OP 4，OM OPsin OPM OPsin，则有方程 4sin，可以验证 O(0,0)，P4，2 也满足方程，所以所求圆的极坐标方程 4sin 两边同乘以 得 24sin，得方程为 x2y24y，即 x2(y2)24 为圆的直角坐标方程解法二：将圆心2，2 转化为直角坐
8、标为(0,2)，即为求平面直角坐标系中，圆心为(0,2)，半径为 2 的圆的方程，得方程为x2(y2)24，即 x2y24y0，转化为极坐标方程为 4sin 求曲线的极坐标方程的时候，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，然后通过代数变换进行化简，最后求出与的函数关系，这就是要求的极坐标方程与圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程更加简便2写出圆心的直角坐标为(1,1)且过原点的圆的极坐标方程【解析】圆的半径为 r 1212 2，圆的直角坐标方程为(x1)2(y1)22，即 x2y22(xy)，转化为极坐标方程为 22(cos sin)，故所求圆的极坐标方程为 2(sin cos
9、)【例3】求从极点作圆C：4sin 的弦的中点的轨迹方程【解题探究】如果从极坐标方程不好入手，可转化为平面直角坐标方程解决求动点的轨迹方程【解析】解法一：由 4sin 两边同乘以，得 24sin，得方程为 x2y24y0.将圆 C 放在平面直角坐标系中，如下图，任作一弦 OP，设 P(x，y)，弦 OP 中点为 M(x，y)，则x12x，y12y，即x2x，y2y.(*)而点 P(x，y)在圆 x2y24y0 上，即 x2y24y0，将(*)代入得中点 M 的轨迹方程为 x2y22y0解法二：在极坐标系中，任取一弦 OP，中点为 M，设 P(，)，M(，)，则12，即2，.(*)而点 P(，)
10、在圆 4sin 上，即 4sin，将(*)代入得中点 M 的轨迹方程为 2sin 已知两个相关动点之一的极坐标方程，求另一个动点的极坐标方程，和平面直角坐标系中的求法一样，用转移法把两个动点的坐标间的关系用方程组的形式表示出来，解出已知曲线上的动点的坐标并代入，得出的方程即为所求方程，也称之为代换法3在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹方程【解析】设M(，)是轨迹上任意一点连接OM并延长交圆A于点P(0，0)，则有0，02由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos，得08cos 0所以28cos，即4cos 故所求轨迹方程是4cos 处理极坐标方程的常用方法一般有两种方法：一是在极坐标系中解决问题；二是把已知的极坐标的条件都转化为直角坐标系中的条件，把极坐标问题转化为直角坐标问题对于第二种情形学生比较熟悉，故通常采用转化的方法，化陌生为熟悉，化未知为已知