1、7.7空间向量及其运算学考考查重点1.考查空间向量的线性运算及其数量积；2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；3.考查空间向量基本定理及其意义本节复习目标1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积教材链接自主学习1 空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有 和 的量叫做空间向量(2)相等向量：方向 且模 的向量(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 的向量(4)共面向量： 的向量2 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a， b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使
2、得ab.推论如图所示，点P在l上的充要条件是ta其中a叫直线l的方向向量，tR，在l上取a，则可化为t或(1t)t.(2)共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间任意一点O，有xy或xyz，其中xyz .(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底3 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称
3、a与b ，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4 空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab .(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则abab ， ， (R)，abab0 (a，b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，cosa，b .设A
4、(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|.基础知识自我测试 1 已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(ab)(ab)的值为_2 下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若xyz (其中x、y、zR)，则P、A、B、C四点共面其中不正确的所有命题的序号为_3 同时垂直于a(2,2,1)和b(4,5,3)的单位向量是_4 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ()A
5、abc B.abcCabc D.abc5. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1EA1D，AFAC，则 ()AEF至多与A1D、AC之一垂直BEF与A1D、AC都垂直CEF与BD1相交DEF与BD1异面题型分类深度剖析题型一空间向量的线性运算例1三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，.变式训练1： 如图所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD是平行四边形若，2，若b，c，a，试用a，b，c表示.题型二共线定理、共面定理的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有()变式训练2： 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B平面AC1D.题型三空间向量数量积的应用例3已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标变式训练3： 如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值