1、章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1数列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28B32C33D27【解析】观察知数列an满足：a12，an1an3n，故x203432.【答案】B2(2016汕头高二检测)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点因为f(x)x3在x0处的导数值f(0)0，所以x0是f(x)x3的极值点以上推理中()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确【解析】大前提是错误的，
2、若f(x0)0，xx0不一定是函数f(x)的极值点，故选A.【答案】A3下列推理过程是类比推理的是()A人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为B科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性D数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理【答案】B4下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180归纳出所有三角形的内角和都是180；由f(x)sin x，满足f(x)f(x)，xR，推出f(x)sin x是奇函数；三角形内角和是180，四边形内角和
3、是360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.ABCD【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，是类比推理，是归纳推理，是演绎推理【答案】C5设a21.522.5，b7，则a，b的大小关系是()AabBabCa2(b1)【解析】因为a21.522.5287，故ab.【答案】A6将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；|ab|a|b|；由abac(a0)，可得bc.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是()A2个B3个C4个D5个【解析】正确；错误【答案】A7证明命题：“f(x)ex在(0，)上是增函数
4、”现给出的证法如下：因为f(x)ex，所以f(x)ex.因为x0，所以ex1,00，即f(x)0.所以f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是()A综合法B分析法C反证法D以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法【答案】A8已知c1，a，b，则正确的结论是()【导学号：19220032】AabBa1，所以a0，b0，故只需比较与的大小即可，而，显然，从而必有a2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出一般结论()Af(2n)Bf(n2)Cf(2n)D以上都不对【解析】f(2)，f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(3
5、2)f(25).由此可推知f(2n).故选C.【答案】C10定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图中a，b对应的运算是()图1AB*D，A*DBB*D，A*CCB*C，A*DDC*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆由此可知选B.【答案】B11观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123D199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a
6、10b10123.【答案】C12在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，公比q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()Ab4b8b5b7Bb4b8b5b8Db4b7a3a7，所以在等比数列bn中，由于4857，所以应有b4b8b5b7或b4b81，bn0，所以b4b8b5b7.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13已知x，yR，且xy2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为_【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x1且y
7、1)【答案】x，y均不大于1(或x1且y1)14如图2，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n2(n2)个图形中共有_个顶点图2【解析】设第n个图形中有an个顶点，则a1333，a2444，an(n2)(n2)(n2)，an2n2n.【答案】n2n15设a0，b0，则下面两式的大小关系为lg(1)_lg(1a)lg(1b)【解析】因为(1)2(1a)(1b)12ab1abab2(ab)()20，所以(1)2(1a)(1b)，所以lg(1)lg(1a)lg(1b)【答案】16(2016杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点，则|0”将它类比到平面的情形是：若O是A
8、BC内一点，有SOBCSOCASOBA0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_【导学号：19220033】【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VOBCDVOACDVOABDVOABC0.【答案】VOBCDVOACDVOABDVOABC0三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知a，b，c成等差数列，求证：abac，b2ac，acbc也成等差数列【证明】因为a，b，c成等差数列，所以2bac，所以(
9、abac)(acbc)b(ac)2ac2(b2ac)所以abac，b2ac，acbc也成等差数列18(本小题满分12分)在平面几何中，对于RtABC，C90，设ABc，ACb，BCa，则(1)a2b2c2；(2)cos2Acos2B1；(3)RtABC的外接圆半径r.把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明【解】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则SSSS2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21.(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四
10、面体的外接球半径R.19(本小题满分12分)已知ABC的三条边分别为a，b，c，且ab，求证：0，b0，所以10,1ab0.所以要证，只需证(1ab)(1)(ab)，只需证b，所以2ab，所以1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零；(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)f(b)，求证：ab.【证明】(1)假设f(m)0，f(n)0，即m3m20，n3n20，n0，m10，n10，0m1,0n1，mn1矛盾，假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零(2)证明：由f(a)f(b)，得a3a2b3b2，a3b3a2b2，(ab)(a2abb2)(ab)(ab)，ab，a2abb2ab，(ab)2(ab)ab2，(ab)2(ab)0，解得ab0，且a1)(1)523，请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广【解】(1)f(3)g(2)g(3)f(2)，又g(5)，g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)(2)由(1)知g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)，即g(32)f(3)g(2)g(3)f(2)，于是推测g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)证明：f(x)，g(x)，g(xy)，g(y)，f(y)，f(x)g(y)g(x)f(y)g(xy)