1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 平面向量基本定理及坐标表示基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.平面向量的基本定理及其意义，A级要求；2.平面向量的正交分解及其坐标表示，B级要求；3.用坐标表示平面向量的线性运算及平面向量共线的条件，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底不共线有且只有基础诊断考点突破课堂总结(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x
2、2，y2)，则AB，|AB|.2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab，ab，a，|a|.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x21y21(x2x1，y2y1)x2x12y2y12基础诊断考点突破课堂总结3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab.x1y2x2y10基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC 中，向量AB，BC的夹角为ABC.()(3)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，
3、则 12，12.()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()基础诊断考点突破课堂总结2(2014北京卷改编)已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab_.解析 2ab(4,8)(1,1)(5,7)答案(5,7)3 已 知向 量 a (1，m)，b (m,2)，若 ab，则 实 数 m_.解析 由 ab，得 12m20，所以 m22，即 m 2.答案 2或 2基础诊断考点突破课堂总结4(苏教版必修4P79T6改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_答案(1,5)解析 设 D(x，y)，则由ABD
4、C，得(4,1)(5x,6y)，即45x，1y6，解得x1，y5.基础诊断考点突破课堂总结5在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A，B，C 三点满足OC23OA 13OB，则|AC|AB|_.解析 OC 23OA 13OB，OC OA 13OA 13OB 13(OB OA)，AC13AB，|AC|AB|13.答案 13基础诊断考点突破课堂总结考点一 平面向量基本定理的应用【例 1】在ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB.若CBa，CAb，|a|1，|b|2，则CD _(用 a，b 表示)深度思考 角平分线定理你知道吗？若知道的话可结合平面向量基本定理解决；若不知道的话可用特殊三
5、角形解决，不妨试试基础诊断考点突破课堂总结解析 法一 因为 CD 平分ACB，由角平分线定理，得ADDBACBC|b|a|2，所以AD 2DB 23AB.所以CD CAAD CA23ABCA23(CBCA)23CB13CA23a13b.法二(特殊值法)构造直角三角形，令 CB1，CA2，AB 3，则DCB30，所以 BD 33.故BD 13BA，CD CB BD a13(ba)23a13b.基础诊断考点突破课堂总结答案 23a13b规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基
6、底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE 1AB2AC(1，2 为实数)，则 12的值为_解析 DE DB BE 12AB23BC 12AB23(BAAC)16AB23AC，所以 116，223，即 1212.答案 12基础诊断考点突破课堂总结考点二 平面向量的坐标运算【例 2】(1)(2014北京海淀区模拟)已知平面向量 a(1,1)，b(1，1)，则向量12a32b_.(2)在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB(2,4)，A
7、C(1,3)，则BD _.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)因为12a12，12，32b32，32，所以12a32b(1,2)(2)由题意得BD AD AB BC AB(AC AB)AB AC 2AB(1,3)2(2,4)(3，5)答案(1)(1,2)(2)(3，5)基础诊断考点突破课堂总结规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)(2014揭阳二模)已知点 A(1,5)和向量 a(2,3)，若AB3a，则点 B 的坐标为_(2)在ABC
8、中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点 Q 是 AC 的中点，若PA(4,3)，PQ(1,5)，则BC等于_答案(1)(5,14)(2)(6,21)解析(1)设点 B 的坐标为(x，y)，则AB(x1，y5)由AB3a，得x16，y59，解得x5，y14.(2)BC3PC3(2PQ PA)6PQ 3PA(6,30)(12,9)(6,21)基础诊断考点突破课堂总结考点三 向量共线的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)若(akc)(2ba)，求实数k；(2)若 d 满足(dc)(ab)，且|dc|5，求 d 的坐标基础诊断考点突破课堂总结解(1)ak
9、c(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得 2(34k)(5)(2k)0，解得 k1613.(2)设 d(x，y)，则 dc(x4，y1)，又 ab(2,4)，|dc|5，4x42y10，x42y125，解得x3，y1 或x5，y3.d 的坐标为(3，1)或(5,3)基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(
10、1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_(2)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABCD，DC 2 AB.设点 D 的坐标为(x，y)，则DC(4,2)(x，y)(4x,2y)，AB(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2,4)基础诊断考点突破课堂总结(2)依题意得ac(3k，6)，由(ac)b，得63(3k)，解
11、得k5.答案(1)(2,4)(2)5基础诊断考点突破课堂总结思想方法1对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式，是向量线性运算知识的延伸基础诊断考点突破课堂总结2向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标表示为x1y2x2y10.基础诊断考点突破课堂总结易错防范1要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标.2向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的3若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.