1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知椭圆1上的焦点为F，直线xy10和xy10与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则|AF|BF|CF|DF|()A2B4C4D8【解析】由题可得a2.如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，BF1，CF，FD.由椭圆的对称性可知， 四边形AFDF1为平行四边形，|AF1|FD|，同理可得|BF1|CF|，|AF|BF|CF|DF|AF|BF|BF1|AF1|4a8，故选D.【答案】D2若直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(，0)(1，)B(1，3)(3，)C(，3)(3，0)D(1，3
2、)【解析】由消去y，整理得(3m)x24mxm0.若直线与椭圆有两个公共点，则解得由1表示椭圆，知m0且m3.综上可知，m1且m3，故选B.【答案】B3若点P(a，1)在椭圆1的外部，则a的取值范围为()A.B.C.D.【解析】因为点P在椭圆1的外部，所以1，解得a或a，故选B.【答案】B4椭圆mx2ny21(m0，n0且mn)与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A.B.C. D.【解析】联立方程组可得得(mn)x22nxn10，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0，y01x01.kOP.故选A.【答案】A5已知椭圆
3、C：y21的右焦点为F，直线l：x2，点Al，线段AF交椭圆C于点B，若3，则|()A.B2C.D3【解析】设点A(2，n)，B(x0，y0)由椭圆C：y21知a22，b21，c21，即c1，右焦点F(1，0)由3，得(1，n)3(x01，y0)13(x01)且n3y0.x0，y0n.将x0，y0代入y21，得1.解得n21，|.【答案】A二、填空题6若直线xym0与椭圆y21有且仅有一个公共点，则m_. 【导学号：18490053】【解析】将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到10y22mym290，令0，解得m.【答案】7已知F1为椭圆C：y21的左焦点，直线l：yx1与椭圆C交于A，B两点
4、，那么|F1A|F1B|的值为_【解析】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，由消去y，得3x24x0.A(0，1)，B.|AB|，|F1A|F1B|4a|AB|4.【答案】8过椭圆1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_【解析】由已知可得直线方程为y2x2，联立方程组解得A(0，2)，B，SAOB|OF|yAyB|.【答案】三、解答题9已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程【解】(1)由题意得消去y，整理得：5x22mxm210.直线与椭圆有公共点
5、，4m220(m21)2016m20，m.(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由(1)得|AB|x1x2|.m，0m2，当m0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为yx，即xy0.10已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值【解】(1)由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|，又因
6、为点A(2，0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d，由，化简得7k42k250，解得k1.能力提升1设F1，F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则的值等于()A0B2C4D2【解析】由题意得c，又S四边形PF1QF22SPF1F22|F1F2|h(h为F1F2边上的高)，所以当hb1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时F1PF2120.所以|cos 120222.故选D.【答案】D2过椭圆1内一点P (2，1)的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是()A5x3y130B5x3y130C5x3y
7、130D5x3y130【解析】设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组两式作差可得：5(x1x2)(x1x2)6(y1y2)(y1y2)，又弦的中点为(2，1)，可得x1x24，y1y22，将代入式可得k，故直线的方程为y1(x2)，化为一般式为5x3y130，故选C.【答案】C3斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为_. 【导学号：18490054】【解析】法一设直线l的方程为yxt，由消去y，得(xt)21，整理得5x28tx4(t21)0.64t280(t21)0，tb0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
8、(1)求椭圆的方程； (2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值【解】(1)设F(c，0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1，0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.可得x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.
