1、2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1已知集合A1，2，3，B2，3，则AB（）A1B2C1，2，3D1，2，3，32（）ABCD3已知a，b，cR，且a+b+c0，则（）A（a+b）2c2Ba，b，c三数中至少有一个大于零Ca，b，c三数中至少有两个大于零Da，b，c三数均大于零4“cos0”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5如图，在梯形ABCD中，BCAD，AD2BC，若，则（）ABCD6函数f（x）（x+1）ln（|x1|）的大致图象是（）ABCD7给出下列四个关于函
2、数的命题：f（x）x3（x1，0，1）与g（n）n3（n1，0，1）表示相同函数；f（x）是既非奇函数也非偶函数；若f（x）与g（x）在区间G上均为递增函数，则f（x）g（x）在区间G上亦为递增函数；设集合Ax|1x2，By|0y1，对应关系f：xlog4（x+2），则能构成一个函数f：AB，记作yf（x）log4（x+2），xA其中，真命题为（）ABCD8设（a，b）（x，y）|xy1，且x+3y3，y0，则a+b的最大值为（）A3B2C1D09已知数列an是等差数列，公差d4，前n项和为Sn，则的值（）A等于4B等于2C等于D不确定，与a1有关10已知函数f（x）|2cosx+1k|+k+
3、2在区间（，+）上的最大值是5，则实数k的值所组成的集合是（）A1B2，0，1Ck|k1Dk|1k1三、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）11已知复数z12+i，z21i，则z1+z2 ，的共轭复数为 12已知函数则f（1） ，若f（a）3，则a 13在ABC中，B60，AB2，M是BC的中点，AM2，则AC ；cosMAC 14已知函数f（x）ex+ln（2x+1），e是自然对数的底数，设函数f（x）的导函数为f（x），则f（0） ，曲线yf（x）在点（0，1）处的切线的方程为 15已知双曲线C：1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A
4、与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN60，则C的离心率为 16已知，R，且满足22sin1，则4+sin的值域为 17已知正数a，b满足：b2（3a2+4ab）3，则3a+2b的最小值为 三、解答题（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）18在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量、满足：，且（）求角A；（）若ABC是锐角三角形，且a2，求b+c的取值范围19已知数列an满足a12，a25，an+1+an12an（nN*，n2），数列bn满足b11，（）求数列an的通项公式；（）求数列anbn的前n项和Sn20如图，在三棱锥PABC中，
5、ABC和BCP均为正三角形（）求证：APBC；（）若，（）求证：平面ABC平面BCP；（）求二面角APBC的平面角的余弦值21已知抛物线C1：y24x与椭圆C2：+1（ab0）有公共的焦点，C2的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为（）求椭圆C2的方程；（）如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且PF1Q与PF1R互补，求F1QR面积S的最大值22已知函数f（x）nsinx+tanx，nN*（）求f（x）的导数f（x）；（）当n1时，求证：f（x）2x在上恒成立；（）若f（x）（n+1）x在上恒成立，求n的最大值参考答案一、选择题（共10小题，每小
6、题4分，共40分）.1已知集合A1，2，3，B2，3，则AB（）A1B2C1，2，3D1，2，3，3解：集合A1，2，3，B2，3，AB1，2，3故选：C2（）ABCD解：，故选：D3已知a，b，cR，且a+b+c0，则（）A（a+b）2c2Ba，b，c三数中至少有一个大于零Ca，b，c三数中至少有两个大于零Da，b，c三数均大于零解：A、当a+bc0时，该不等式不成立，故不符合题意；B、由a，b，cR，且a+b+c0知：a，b，c三数中至少有一个大于零，故符合题意；C、当a4，bc1时，a+b+c0，即a，b，c三数中可以只有一个数大于零，故不符合题意；D、结合选项C的分析，a，b，c三数可
7、以不都大于零的实数，故不符合题意故选：B4“cos0”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：由cos0可得：k+，kZ由，即tan1，解得：k+，即2k+，kZ“cos0”是“”的必要不充分条件故选：B5如图，在梯形ABCD中，BCAD，AD2BC，若，则（）ABCD解：由图可得，因为AD2BC，BC/AD，所以，则2（），即22，故选：B6函数f（x）（x+1）ln（|x1|）的大致图象是（）ABCD解：当x+时，f（x）+，排除A，C，f（5）4ln60，排除C，D，故选：B7给出下列四个关于函数的命题：f（x）x3（x1，0，1）与g（n）n
8、3（n1，0，1）表示相同函数；f（x）是既非奇函数也非偶函数；若f（x）与g（x）在区间G上均为递增函数，则f（x）g（x）在区间G上亦为递增函数；设集合Ax|1x2，By|0y1，对应关系f：xlog4（x+2），则能构成一个函数f：AB，记作yf（x）log4（x+2），xA其中，真命题为（）ABCD解：对于，f（x）x3（x1，0，1）与g（n）n3（n1，0，1）表示相同函数，函数的关系式形式相同，定义域相同，故函数的值域一定相同，故正确；对于，函数f（x）（2x2且x0）则是奇函数，故错误；对于，若f（x）与g（x）在区间G上均为递增函数，则f（x）+g（x）在区间G上亦为递增函数
9、，但是f（x）g（x）在区间G不一定为递增函数，故错误；对于，设集合Ax|1x2，By|0y1，对应关系f：xlog4（x+2），则能构成一个函数f：AB，记作yf（x）log4（x+2），xA，符合函数的定义，故正确故选：B8设（a，b）（x，y）|xy1，且x+3y3，y0，则a+b的最大值为（）A3B2C1D0解：（a，b）（x，y）|xy1，且x+3y3，y0，作出该不等式组表示的平面区域如图，令za+b，得ba+z，由图可知，当直线ba+z过点A（3，0）时，直线在b轴上的截距最大，z有最大值为3故选：A9已知数列an是等差数列，公差d4，前n项和为Sn，则的值（）A等于4B等于2C
10、等于D不确定，与a1有关解：由数列an是等差数列，得S2021（a1+a2021）2021a1011；S2020（a1+a2020）1010（a1010+a1011），所以a1011（a1010+a1011）（a1011a1010）d2故选：B10已知函数f（x）|2cosx+1k|+k+2在区间（，+）上的最大值是5，则实数k的值所组成的集合是（）A1B2，0，1Ck|k1Dk|1k1解：当1k0，即k1时，此时当cosx1时，f（x）取最大值f（x）max5，满足题意；当1k0时，即k1时，此时当cosx1时，f（x）取最大值f（x）max2k+35k1，又k1，所以k无解综上所述，实数k
11、的值所组成集合是k|k1故选：C三、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）11已知复数z12+i，z21i，则z1+z23，的共轭复数为 解：复数z12+i，z21i，则z1+z22+i+1i3，i的共轭复数为+i，故答案为：3，+i12已知函数则f（1）1，若f（a）3，则a或7解：函数则f（1）|log22|1，当a0时，f（a）2a213，求得a；当a0时，f（a）|log2（a+1）|3，1a8，或1a，求得a7，故答案为：1； 或713在ABC中，B60，AB2，M是BC的中点，AM2，则AC2；cosMAC解：在ABM中：AM2BA2+BM22BABM
12、cos60，（2）222+BM222BM，BM22BM80，解得：BM4或2（舍去）点M是BC中点，MC4，BC8，在ABC中：AC222+82228cos6052，AC2；在AMC中：cosMAC故答案为：2；14已知函数f（x）ex+ln（2x+1），e是自然对数的底数，设函数f（x）的导函数为f（x），则f（0）3，曲线yf（x）在点（0，1）处的切线的方程为 y3x+1解：f（x）ex+ln（2x+1），f（x）ex+，则f（0）3；曲线yf（x）在点（0，1）处的切线的方程为y3x+1故答案为：3；y3x+115已知双曲线C：1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，
13、圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN60，则C的离心率为解：双曲线C：1（a0，b0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN60，可得A到渐近线bx+ay0的距离为：bcos30，可得：，即，可得离心率为：e故答案为：16已知，R，且满足22sin1，则4+sin的值域为 解：22sin1，可得，4+sin，设f（），f（）的对称轴为4，f（）在区间上单调递增，4+sin的值域为 故答案为：17已知正数a，b满足：b2（3a2+4ab）3，则3a+2b的最小值为 解：根据题意，（3a+2b）29a2+12ab+4b23（
14、3a2+4ab）+4b22，当且仅当3（3a2+4ab）4b2时等号成立，又由b2（3a2+4ab）3，则（3a+2b）212，又由a、b0，必有3a+2b2，故答案为：2三、解答题（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）18在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量、满足：，且（）求角A；（）若ABC是锐角三角形，且a2，求b+c的取值范围解：（）因为，所以，由正弦定理得：，因为sinB0，所以，所以或（）因为a2，所以由正弦定理得，得：，所以sinB+sin（B），因为ABC是锐角三角形，所以，且，可得，所以，可得，所以19已知数列an满足a
15、12，a25，an+1+an12an（nN*，n2），数列bn满足b11，（）求数列an的通项公式；（）求数列anbn的前n项和Sn解：（）因为an+1+an12an，所以an+1ananan1a2a13，所以an是首项为2，公差为3的等差数列，所以通项公式为an3n1（）因为，所以bn是首项为1，公比为的等比数列，所以，所以，则Sna1b1+a2b2+anbn，所以，所以由得：，所以20如图，在三棱锥PABC中，ABC和BCP均为正三角形（）求证：APBC；（）若，（）求证：平面ABC平面BCP；（）求二面角APBC的平面角的余弦值【解答】（）证明：取BC中点O，连接AO，PO，（1分）因为
16、ABC与BCP是正三角形，所以AOBC，POBC，且AOPOO，所以BC平面PAO，又AP在平面PAO内，所以BCAP，即APBC；（）（）证明：设ABa，因为ABC与B1BC是正三角形，则BPABBCACPCa，又，由余弦定理可得所以在APO中，有AP2AO2+PO2，所以APO为直角三角形，得AOPO，显然AOBC，又POBCO，所以AO平面PBC，因为AO平面ABC，所以平面ABC平面BCP；（）解：由（）可以OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设平面ABP的一个法向量为，则可取，又平面BCP的一个法向量为，所以二面角APBC的平面角的余弦值为21已知抛物线C1
17、：y24x与椭圆C2：+1（ab0）有公共的焦点，C2的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为（）求椭圆C2的方程；（）如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且PF1Q与PF1R互补，求F1QR面积S的最大值解：（I）由题意可得，抛物线的焦点为（1，0），椭圆的半焦距c1，又椭圆的离心率为，即a2，a2b2+c2，b2a2c2413，即b，椭圆C2的方程为（II）设Q（x1，y1），R（x2，y2），F（1，0），PF1Q与PF1R互补，化简整理，可得x1y2+y2+x2y1+y10 ，设直线PQ 为xmy+n（m0），联立直线与椭圆方程，化简整理，
18、可得（3m2+4）y2+6mny+3n2120，b24ac36m2n24（3m2+4）（3n212）0，可得n23m2+4 ，由韦达定理，可得，将x1my1+n，x2my2+n 代入，可得2my1y2+（n+1）（y1+y2）0 ，再将代入，可得，解得n4，PQ的方程为xmy4，由点F（1，0）到直线PQ的距离d，由可得，3m2+416，即m24，设f（m），令m24t，t0，f（t），由均值不等式可知，当且仅当时，即t，等号成立，当取最小值时，f（t）取最大值，即F1QR面积S最大，F1QR面积S最大值为22已知函数f（x）nsinx+tanx，nN*（）求f（x）的导数f（x）；（）当n1时，求证：f（x）2x在上恒成立；（）若f（x）（n+1）x在上恒成立，求n的最大值解：（I）由f（x）nsinx+tanx，得；（II）当n1时，令g（x）f（x）2xsinx+tanx2x，则；当时，因为，所以，所以g（x）在上单调递增，所以g（x）g（0）0，即f（x）2x在上恒成立（III）由条件知，当时，不等式成立，即，解得，所以正整数n最大为2当n2时，令h（x）f（x）3x，则所以h（x）在上单调递增，所以h（x）h（0）0，即h（x）3x在上恒成立，所以n的最大值为2
