1、5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换 第五章 三角函数 学 习 任 务核 心 素 养1能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，并能够进行简单的应用(重点)2了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点、易错点)1通过公式的推导，培养逻辑推理素养2借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.情境导学探新知 NO.1前面我们已经学习了二倍角公式，你能用 cos 表示 sin2 2，cos22及 t
2、an2 2吗？知识点 1 半角公式(1)sin2_，(2)cos2_，(3)tan2_，1cos 2 1cos 2 1cos 1cos(4)tan2sin 2cos2sin22cos2cos22cos2_，tan2sin2cos2sin22sin2cos22sin2_.sin 1cos 1cos sin 半角公式中的符号由谁决定？提示 半角公式中的符号由2所在象限决定1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)cos 21cos 2.()(2)存在 R，使得 cos 212cos.()(3)对于任意 R，sin 212sin 都不成立()(4)若 是第一象限角，则 tan 21cos 1c
3、os.()答案(1)(2)(3)(4)2.已知 cos 35，32，2，则 sin 2_，tan 2_.55 12 32，2，234，sin 21cos 255，又 cos 35，sin 45，tan 2sin 1cos 4513512.知识点 2 常见的三角恒等变换(1)辅助角公式：asin xbcos x_(ab0)，其中tan ba，所在象限由 a 和 b 的符号确定(2)降幂公式：sin2x1cos 2x2，cos2x1cos 2x2，sin xcos x12sin 2x.a2b2sin(x)AD cos sin 222 cos 22 sin 2cos4 2sin4.故选 AD.3.(
4、多选)cos sin 的化简结果是()A.2sin4 B 2cos4C.2sin4D 2cos4 24 12cos2 8121cos 42121212 22 24.4.12cos2 8_.合作探究释疑难 NO.2类型1 化简求值问题 类型2 三角恒等式的证明 类型3 恒等变换与三角函数图象性质的综合 类型4 三角函数在实际问题中的应用 类型 1 化简求值问题【例 1】已知 32，化简：1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1cos.解 原式sin2cos222cos2 2sin2sin2cos222cos2 2sin2.32，2234，cos20，sin20，原式sin2cos22
5、 2sin2cos2sin2cos222sin2cos2sin2cos22sin2cos22 2cos2.1化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等2利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan2sin 1cos 1cos sin，涉及半
6、角公式的正、余弦值时，常利用 sin221cos 2，cos221cos 2计算(4)下结论：结合(2)求值提醒：已知 cos 的值可求2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号跟进训练1已知 cos 35，且 180270，求 tan 2.解 法一：180270，902135，即2是第二象限角，tan 20，tan 21cos 1cos 1351352.法二：1800)的最小正周期为.(1)求 的值；(2)讨论 f(x)在区间0，2 上的单调性解(1)f(x)4cos xsinx42 2sin xcos x2 2cos2x 2(sin 2xcos 2x)22sin2x4 2.因为 f(x)的最
7、小正周期为，且 0，从而有22，故 1.(2)由(1)知，f(x)2sin2x4 2.当42x42，即 0 x8时，f(x)单调递增；若 0 x2，则42x454.当22x454，即8x2时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间0，8 上单调递增，在区间8，2 上单调递减类型 4 三角函数在实际问题中的应用【例 4】(对接教材 P227 例题)在扇形 OPQ 中，OPR，圆心角POQ3，若将此木料截成如图所示的矩形，试求此矩形面积的最大值解 如图，作POQ 的平分线分别交 EF，GH 于点 M，N，连接 OE，设MOE，0，6，在RtMOE 中，MERsin，OMRcos，在 RtONH
8、中，NHONtan6，得 ON 3NH 3Rsin，则 MNOMONR(cos 3sin)设矩形 EFGH 的面积为 S，则 S2MEMN2R2sin(cos 3sin)R2(sin 2 3cos 2 3)2R2sin23 3R2，由 0，6，则32323，所以当 232，即 12时，Smax(2 3)R2.所以矩形面积的最大值为(2 3)R2.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解(2)注意：在求解过程中，要注意三点：充分借助平面几何性质，寻找数量关系注意实际问题中变
9、量的范围重视三角函数有界性的影响提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误跟进训练4如图所示，要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB 的周长最大？解 设AOB，OAB 的周长为 l，则 ABRsin，OBRcos，lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos)R 2Rsin4 R.02，4434，l 的最大值为 2RR(21)R，此时，42，即 4.所以当AOB4时，OAB 的周长最大.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 D 若 56，则54 432，则 sin 41cos 221a2.1设 56，cos 2a，则 sin 4等于()
10、A 1a2 B 1a2C 1a2D1a21 2 3 4 5 C 原式 212sin21sin21 33sin21 31sin213cos21 3cos 1.2化简 2cos 2sin21的结果是()Acos 1Bcos 1C 3cos 1D 3cos 11 2 3 4 5 D 原式121cos2x2 12(1sin 2x)1212sin 2x，此函数既不是奇函数也不是偶函数3函数 f(x)cos2x4，xR，则 f(x)()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数，也是偶函数D既不是奇函数，也不是偶函数1 2 3 4 5 因为 f(x)sin2x1cos 2x2，所以 f(x)的最小正周期 T22.4
11、函数 f(x)sin2x 的最小正周期为_5 1 2 3 4 32 3sin x3cos x2 3sin xcos 3cos xsin 3 2 3sinx3.，3或23.sin 2sin 23 32 或 sin 2sin43 32.sin 2 32.5已知 3sin x3cos x2 3sin(x)，(，)，则 sin 2_.回顾本节知识，自我完成以下问题：1三角函数式的化简常从哪些角度切入？提示 一般从“角”、“名”、“形”三个角度切入，即“统一角”、“统一函数名”、“统一次数(降幂)”2试总结解决三角函数综合问题的步骤提示 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简统一
12、化成fxasin xbcos xk的形式利用辅助角公式化为fxAsinxk的形式，研究其性质3用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示 通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响数学阅读拓视野 NO.4正弦型函数与信号处理两个周期相同的正弦型函数相加，利用三角恒等变换，一定可以把结果化为同一个周期的正弦型函数而且，不难看出，这一结果可以推广到有限多个同周期的正弦型函数那么，不同周期的正弦型函数相加，结果会怎样呢？图 1 是函数f(x)sin xsin 2xsin 3x 的图象，由此你能发现什么？图 1可以看出，f(x)的图象呈现的还是周期性变化(事实上，f(x)仍是一个周期函数)不过，相对于正弦曲线来说，f(x)的图象变化更加丰富那么，这是不是意味着所有的周期函数都可以借助正弦型函数相加来表示或者近似表示呢？答案是肯定的！例如，如图 2 所示是函数f(x)7i1sin2i1x2i1的图象，如图 3 所示是某种信号的波形，两者相似吗？图 2图 3事实上，在现代社会中，信号处理是非常关键的技术这只要想想我们几乎每天都在使用的电话或互联网就可以感受到！而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！感兴趣的同学可以查找有关资料了解更多信息 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!