1、学业分层测评(十一)奇偶性(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016广州高一检测)函数f(x)x的图象关于()Ay轴对称B直线yx对称C坐标原点对称D直线yx对称【解析】f(x)xf(x)，f(x)x是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，故选C.【答案】C2(2016洛阳高一检测)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数【解析】f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数
2、再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.【答案】C3(2016济南高一检测)已知f(x)是偶函数，且在区间(0，)上是增函数，则f(0.5)，f(1)，f(0)的大小关系是()Af(0.5)f(0)f(1)Bf(1)f(0.5)f(0)Cf(0)f(0.5)f(1)Df(1)f(0)f(0.5)【解析】函数f(x)为偶函数，f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)，又f(x)在区间(0，)上是增函数，f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(0.5)f(1)，故选C.【答案】C4一个偶函数定义在区
3、间7,7上，它在0,7上的图象如图135，下列说法正确的是()图135A这个函数仅有一个单调增区间B这个函数有两个单调减区间C这个函数在其定义域内有最大值是7D这个函数在其定义域内有最小值是7【解析】根据偶函数在0,7上的图象及其对称性，作出在7,7上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是7.故选C.【答案】C5设f(x)是(，)上的奇函数，且f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)等于() 【导学号：97030064】A0.5B0.5C1.5D1.5【解析】由f(x2)f(x)，则f(7.5)f(5
4、.52)f(5.5)f(3.52)f(3.5)f(1.52)f(1.5)f(0.52)f(0.5)f(0.5)0.5.【答案】B二、填空题6(2016沈阳高一检测)函数f(x)在R上为偶函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)_.【解析】f(x)为偶函数，x0时，f(x)1，当x0时，x0，f(x)f(x)1，即x0时，f(x)1.【答案】17若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0)上是增函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是_【解析】函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上是增函数，又f(2)0，f(x)在(0，)上是减函数，且f(2)f(2)0，当x2或
5、x2时，f(x)0，如图，即f(x)0的解为x2或x2，即不等式的解集为x|x2或x2【答案】x|x2或x28已知函数yf(x)是奇函数，若g(x)f(x)2，且g(1)1，则g(1)_.【解析】由g(1)1，且g(x)f(x)2，f(1)g(1)21，又yf(x)是奇函数f(1)f(1)1，从而g(1)f(1)23.【答案】3三、解答题9若函数f(x)当a为何值时，f(x)是奇函数？并证明【解】假设f(x)是奇函数，则有f(x)f(x)当x0时，即x0时，f(x)x2x，f(x)x2x.f(x)f(x)，即ax2xx2x，a1.下面证明f(x)是奇函数证明：当x0时，即x0，则f(x)(x)
6、2(x)x2x(x2x)f(x)；当x0时，f(0)0f(0)；当x0，则f(x)(x)2(x)x2x(x2x)f(x)，于是f(x)f(x)f(x)假设成立，即a1时，f(x)是奇函数10设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围 【导学号：97030065】【解】f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)，不等式f(1m)f(m)等价于f(|1m|)f(|m|)又当x0,2时，f(x)是减函数解得1m.故实数m的取值范围为.能力提升1若xR，nN*，规定Hx(x1)(x2)(xn1)，例如：H(4)(3)(2)(1)24，则f(x)
7、xH的奇偶性为()A是奇函数不是偶函数B是偶函数不是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数【解析】由定义可知，f(x)xHx(x2)(x1)x(x1)(x2)x2(x21)(x24)，因为f(x)x2(x21)(x24)f(x)，所以函数f(x)是偶函数不是奇函数故选B.【答案】B2(2016四平高一检测)若x，yR，且f(xy)f(x)f(y)，则()Af(0)0且f(x)为奇函数Bf(0)0且f(x)为偶函数Cf(x)为增函数且为奇函数Df(x)为增函数且为偶函数【解析】对任意的x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，令xy0，得f(0)f(0)f(0)2f(0)，f(0
8、)0，令yx，得f(xx)f(x)f(x)f(0)0，f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数【答案】A3(2016德阳高一检测)定义在R上的奇函数f(x)，满足f0，且在(0，)上单调递减，则xf(x)0的解集为()A.B.C.D.【解析】函数f(x)是奇函数，在(0，)上单调递减，且f0，f0，且在区间(，0)上单调递减，当x0时，f(x)0，此时xf(x)0，当0x时，f(x)0，此时xf(x)0，综上，xf(x)0的解集为x或x0.【答案】B4已知函数f(x)，当x，yR时，恒有f(xy)f(x)f(y)当x0时，f(x)0. 【导学号：97030066】(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(1)，试求f(x)在区间2,6上的最值【解】(1)证明：令x0，y0，则f(0)2f(0)，f(0)0.令yx，则f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，即f(x)为奇函数(2)任取x1，x2R，且x1x2，f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x1)f(x2x1)，当x0时，f(x)0，且x1x2，f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)，f(x)为增函数，当x2时，函数有最小值，f(x)minf(2)f(2)2f(1)1.当x6时，函数有最大值，f(x)maxf(6)6f(1)3.