1、5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 第五章 三角函数 学 习 任 务核 心 素 养1能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)2能利用二倍角公式进行化简、求值、证明(难点)3熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用(易错点)1通过公式的推导，培养逻辑推理素养2借助运算求值，提升数学运算素养.情境导学探新知 NO.1在 S()、C()及 T()中，令，则上述公式会有什么变化？对于 cos 2 的等式能否可以变成只含有 sin 或 cos 的式子？知识点 倍角公式(1)二倍角的正弦、余弦、正切公
2、式记法公式S2sin 2_C2cos 2_T2tan 2_(2)余弦的二倍角公式的变形cos 2_.cos2sin22tan 1tan212sin22cos212sin cos 倍角公式中的“倍角”只指 与 2 吗？提示 不是“倍角”是相对而言的如 4 是 2 的二倍“”是“2”的二倍等等1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(2)存在角，使得 sin 22sin 成立()(3)对于任意的角，cos 22cos 都不成立()答案(1)(2)(3)2425 725 247 sin 35，cos 45，sin 22sin cos 2354
3、52425，cos 22cos21216251 725.tan 2sin 2cos 22425725247.2.若 sin 35，cos 45，则 sin 2_，cos 2_，tan 2_.合作探究释疑难 NO.2类型1 给角求值问题 类型2 给值求值问题 类型3 化简与证明 类型 1 给角求值问题【例 1】求下列各式的值：(1)cos415sin415_；(2)12sin275_；(3)1tan275tan 75 _；(4)1sin 103cos 10_；(5)cos 7cos 37 cos 57 _.(1)32 (2)32 (3)2 3(4)4(5)18(1)cos415sin415(co
4、s215sin215)(cos215sin215)cos215sin215cos 30 32.(2)12sin275cos 150cos 30 32.(3)1tan275tan 75 21tan2752tan 7521tan 1502 3.(4)1sin 103cos 10cos 10 3sin 10sin 10cos 10212cos 10 32 sin 10sin 10cos 104sin 30cos 10cos 30sin 102sin 10cos 104sin 20sin 20 4.(5)cos37 cos47，cos57 cos27，cos7cos37 cos57 cos7cos27
5、 cos47 8sin7cos7cos27 cos478sin74sin27 cos27 cos478sin72sin47 cos478sin7sin878sin718.对于给角求值问题，一般有 2 类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角的正弦公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式跟进训练1求下列各式的值(1)cos 72cos 36；(2)1sin 503cos 50.解(1)cos 36c
6、os 722sin 36cos 36cos 722sin 362sin 72cos 724sin 36sin 1444sin 3614.(2)原式cos 50 3sin 50sin 50cos 50212cos 50 32 sin 50122sin 50cos 50 2sin 8012sin 1002sin 8012sin 804.类型 2 给值求值问题【例 2】已知 sin4x 513，0 x4，求 cos 2xcos4x的值所给的角“4x”与待求角“4x”是什么关系？如何借助诱导公式实现“2x”与“4x”之间的三角转换？解 原式sin22xcos4x2sin4x cos4xcos4x2si
7、n4x.sin4x cos4x 513，且 0 x4，4x4，2，sin4x 1cos24x 1213，原式212132413.解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系(2)当遇到“4x”这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通cos 2xsin22x 2sin4x cos4x.类似的变换还有：cos 2xsin22x 2sin4x cos4x，sin 2xcos22x 2cos24x 1，sin 2xcos22x 12cos24x 等跟进训练2(1)已知 sin4 1
8、3，则 sin 2 的值为()A89 B89 C79D79(2)已知 sin3 23，那么 cos32 等于()A59 B 23C 23 D59(1)C(2)A(1)sin 2cos22 2sin24 1219179.故选 C.(2)cos32 cos32 cos23 22sin23 1229159.故选 A.类型 3 化简与证明【例 3】(1)化简：1tan 11tan 1_.(2)证明：3tan 123sin 124cos21224 3.(1)tan 2 原式 tan 1tan 1tan 1tan 1 2tan tan21 2tan 1tan2tan 2.(2)证明 左边3sin 123c
9、os 12cos 122sin 122cos21212 312sin 12 32 cos 122sin 12cos 12cos 24 2 3sin1260sin 24cos 24 2 3sin 4812sin 48 4 3右边，所以原等式成立1证明三角恒等式的原则观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次幂降幂，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想2证明恒等式的一般步骤(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的跟进训练2求证：(1)co
10、s2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B；(2)cos2(1tan2)cos 2.证明(1)左边1cos2A2B21cos2A2B2cos2A2Bcos2A2B212(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边，等式成立(2)法一：左边cos21sin2cos2cos2sin2cos 2右边等式成立法二：右边cos 2cos2sin2cos21sin2cos2 cos2(1tan2)左边等式成立.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 D 因为 sin 3cos，所以 tan 3，所以 tan
11、2 2tan 1tan22313234.1已知 sin 3cos，那么 tan 2 的值为()A2 B2 C34 D341 2 3 4 5 B cos215sin215cos 30 32.故选 B.2下列各式中，值为 32 的是()A2sin 15cos 15Bcos2 15sin2 15C2sin215Dsin215cos2151 2 3 4 5 C cos 12sin22121313.故选 C.3若 sin 2 33，则 cos 等于()A23B13C13D231 2 3 4 5 13 79 因为 sin 2cos 22 33，所以sin 2cos 2243，即 12sin 2cos 24
12、3，所以 sin 13，所以 cos 212sin21213279.4已知 sin 2cos 22 33，那么 sin _，cos 2_.5 1 2 3 4 3 sin 2sin，2sin cos sin.由 2，知 sin 0，cos 12，23，tan 2tan43 tan3 3.5设 sin 2sin，2，则 tan 2 的值是_回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何理解二倍角中的“倍角”含义？提示 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8 是 4 的二倍；6 是 3 的二倍；4 是 2 的二倍；3 是32 的二倍；2是4的二倍；3是6的二倍；2n是 2n1(nN*)的二倍2二倍角公式的常见变形有哪些？提示(1)sin cos 12sin 2；(2)1sin 2(sin cos)2；(3)cos21cos 22，sin21cos 22等等点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!