1、2012届全国各省市高三上学期数学联考试题重组专题题型四 函数与导数 （文）（教师版）【备 考 要 点】 在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在: 1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象。2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查。4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。5.涌现了一些函数新题型。6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),
2、和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。8.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题，要特别注意一些新定义试题 (2)以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定 (3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用，函数的零点判断，简单的函数建模，导数的几何意义的应用，定积分的计
3、算及其简单应用(4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模【2011高 考 题 型】函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中, 函数类试题在试题中所占分值一般为22-35分.一般为2个选择题或2个填空题,1个解答题 ,而且常考常新。在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。从近几年高考来看，
4、本讲高考命题有以下特点：1从内容上看，考查导数有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题2从特点上看，高考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查3从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现【2012 命 题 方 向】对任意可知（12分）因为，所以，所以因此在R上递减（14分）【试题出处】上海市宝山区2012届高三上学期期末质量监
5、测数学试题【原题】已知函数，（为正常数），且函数与的图像在轴上的截距相等（1）求的值；（2）若（为常数），试讨论函数的奇偶性【解析】（1）由题意，即，又，故（4分）（2），其定义域为，（8分）若为偶函数，即，则有，此时，故，即不为奇函数；若为奇函数，即，则，此时，故，即不为偶函数；综上，当且仅当时，函数为偶函数，且不为奇函数，（10分）当且仅当时，函数为奇函数，且不为偶函数，（12分）当时，函数既非奇函数又非偶函数（14分）【试题出处】上海市卢湾区2012届高三上学期期末质量监测数学（文）试题【原题】已知函数.（1）画出函数在闭区间上的大致图像；（2）解关于的不等式；（3）当时，证明：对恒成立
6、.【解析】（1）坐标系正确1分；大致图像3分.评分关键点：与轴的两个交点 ，两个最高点，与轴的交点，对称性.（2）原不等式等价转化为下列不等式组：或者解得不等式的解为或或或.4分（或者由，解得或）所以原不等式的解为：.6分（3）证法1：原不等式等价转化为下列不等式组：（）或者（） 2分（）不等式2中，判别式，因为，所以，即；所以当时，恒成立. 5分（）在不等式4中，判别式，因为，所以，又，所以，.（或者）所以当时，恒成立.综上讨论，得到：当时，对恒成立.8分证法2：设（），（）（）（）2分以下讨论关于的最值函数的最值与0关系（略）。8分【试题出处】上海市静安区2012届高三上学期期末教学质量检
7、测数学（文）试题【原题】设函数是定义域为的奇函数（1）求值；（2）当时，试判断函数单调性并求使不等式的解集；（3）若，且，在上的最小值为，求的值.【解析】(1)f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)0， 2分1-（k1）0，k2， 4分（2）（文），单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。 6分原不等式化为：f(x22x)f(4x)x22x4x，即x23x40 8分，不等式的解集为x|10分 (3)f(1)，即12分g(x)22x22x2m(2x2x)(2x2x)22m(2x2x)2.令tf(x)2x2x，由(1)可知f(x)2x2x为增函数x1，tf(1)，令h(t)t22mt2(tm
8、)22m2 (t)15分若m，当tm时，h(t)min2m22，m2 16分若m，舍去17分综上可知m2.18分【试题出处】上海市长宁区2012届高三第一学期期末质量抽测（数学文）【原题】(本小题满分16分) 对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.(1)判断函数是否为“()型函数”，并说明理由；(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时,若,试求的取值范围.当,即时,的值域为,即,所以则在 上的值域为,则由题意得且解得13分当,即时,的值域为,即,则在上的值域为=,则,解得.综上所述,所求的取值范围是16分【试题出处】南京市
9、、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学试题【原题】函数，定义的第阶阶梯函数，其中 ，的各阶梯函数图像的最高点，（1）直接写出不等式的解；（2）求证：所有的点在某条直线上【解析】（1） -4分（2）， -6分的第阶阶梯函数图像的最高点为，-7分第阶阶梯函数图像的最高点为 所以过这两点的直线的斜率为-8分 同理可得过这两点的直线的斜率也为 所以的各阶阶梯函数图像的最高点共线直线方程为即 -12分【试题出处】上海市奉贤区2012届高三上学期期末质量抽测试题（数学）【原题】（本小题满分13分）已知函数，其中是常数.（）当时，求在点处的切线方程；（）求在区间上的最小值.【解析】（）由可得.2分当时
10、, ,.4分所以 曲线在点处的切线方程为，即.6分 （）令，解得或.8分当，即时，在区间上，所以是上的增函数.所以的最小值为;10分当，即时, 随的变化情况如下表 由上表可知函数的最小值为13分【试题出处】北京市海淀区2012届高三年级第一学期期末数学试题(文)（）.6分当时,因为，所以函数在区间上单调递减；7分当时，当时，即时，所以函数在区间 上单调递增；9分当时，即时，由解得， ，或.10分由解得； 11分所以当时，函数在区间上单调递增；在上单调递减，单调递增. 13分【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）【原题】（本小题满分12分）
11、设函数，曲线通过点（0，2a+3），且在点处的切线垂直于y轴。（1）用a分别表示b和c；（2）当取得最小值时，求函数的单调区间。（）由（）得：，8分，10分 .12分【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（文）【原题】（本小题满分12分）已知函数（1）若曲线在点处的切线斜率为-2，求a的值以及切线方程；（2）若是单调函数，求a的取值范围。【解析】（）f(x)12ax2分由题设，f(1)2a2，a1，此时f(1)0，切线方程为y2(x1)，即2xy205分（）f(x)，令18a当a时，0，f(x)0，f(x)在(0，)单调递减10分当0a时，0，方程2ax2x10有两个
12、不相等的正根x1，x2，不妨设x1x2，则当x(0，x1)(x2，)时，f(x)0，当x(x1，x2)时，f(x)0，这时f(x)不是单调函数综上，a的取值范围是，)12分【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（文）【原题】（本小题满分12分）已知函数， .（）如果函数在上是单调函数，求的取值范围；（）是否存在正实数，使得函数在区间内有两个不同的零点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】（）当时，在上是单调增函数，符合题意1分当时，的对称轴方程为，由于在上是单调函数，所以，解得或，综上，的取值范围是，或 4分（），因在区间()内有两个不同的零点,所以，即方程在
13、区间()内有两个不同的实根.5分设 ， 7分令，因为为正数，解得或（舍）当时, , 是减函数；当时, ，是增函数.8分为满足题意，只需在()内有两个不相等的零点, 故解得 12分【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (文科)【原题】（本小题共13分）已知函数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【解析】（）当时，.，3分 所以所求切线方程为即5分 （）. 令，得.7分由于，的变化情况如下表：+00+单调增极大值单调减极小值单调增所以函数的单调递增区间是和. 9分要使在区间上单调递增，应有 或 ， 解得或11分 又 且， 12分所以 即实数的
14、取值范围 13分【试题出处】北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学文科【原题】（本小题满分12分）设函数（）当时，求曲线在处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间；（）在（）的条件下，设函数，若对于1，2，0，1，使成立，求实数b的取值范围. 【解析】函数的定义域为， （2分）（）当时，由（）可知函数在上为增函数，函数在1，2上的最小值为 （9分）若对于1，2，使成立在上的最小值不大于在上的最小值（*） （10分）又，当时，在上为增函数，与（*）矛盾当时，由及得，当时，在上为减函数，此时（11分）综上，的取值范围是 （12分）【试题出处】吉林市普通中学20112
15、012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学(文科)【原题】(本小题满分13分)已知函数（为实数）.（I）当时， 求的最小值；（II）若在上是单调函数，求的取值范围.【解析】() 由题意可知：1分当时 .2分当时， 当时，.4分故.5分() 由 由题意可知时，,在时，符合要求 .7分 当时，令故此时在上只能是单调递减 即 解得 .9分当时，在上只能是单调递增 即得 故.11分综上.13分【试题出处】北京市昌平区20112012学年第一学期高三年级期末质量抽测（数学文）【原题】（本小题满分14分）已知函数.(). （1）当时，求函数的极值；（2）若对，有成立，求实数的取值范围【解析】（1）当
16、时， =， -2分令，解得.当时，得或；当时，得.当变化时，的变化情况如下表：1+00+单调递增极大单调递减极小单调递增-4分当时，函数有极大值，-5分当时函数有极小值，-6分（2），对，成立，即对成立， -7分当时，有，即，对恒成立，-9分，当且仅当时等号成立，-11分当时，有，即，对恒成立，（）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；【解析】（），故其定义域为令0,得令0,得故函数的单调递增区间为单调递减区间为（）令又令解得当x在内变化时，变化如下表x)+0-由表知，当时函数有最大值，且最大值为所以，【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题（文科）【原题】（本题满分
17、15分）设函数，且为的极值点() 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；()若恰有两解，求实数的取值范围【解析】又所以且， 4分（I）因为为的极大值点，所以当时，；当时，；当时，所以的递增区间为，；递减区间为7分（II）若，则在上递减，在上递增，恰有两解，则，即，所以；若，则，因为，则，从而只有一解；若，则, 则只有一解.综上，使恰有两解的的范围为15分【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（文）试卷【解析】（1）01分而0lnx+10000所以在上单调递减，在上单调递增.3分 所以是函数的极小值点，极大值点不存在.4分（2）设切点坐标为，则切线的斜率为所以切线的方程为6
18、分又切线过点，所以有解得所以直线的方程为8分（3），则 0000所以在上单调递减，在上单调递增.9分当即时，在上单调递增，所以在上的最小值为10分当1e，即1a2时，在上单调递减，在上单调递增.在上的最小值为12分当即时，在上单调递减，所以在上的最小值为13分综上，当时，的最小值为0；当1a2时，的最小值为；当时，的最小值为14分【试题出处】山东省枣庄市2012届高三上学期期末检测 数学（文）【原题】（本小题满分1分）已知函数，其中是自然数的底数，。（）当时，解不等式；（）若在，上是单调增函数，求的取值范围；当时，求整数的所有值，使方程在，上有解。【解析】因为，所以不等式即为，又因为，所以不等
19、式可化为，所以不等式的解集为4分，当时，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求；6分当时，令，因为，所以有两个不相等的实数根，不妨设，因此有极大值又有极小值若，因为，所以在内有极值点，故在上不单调8分若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为必须满足即所以.综上可知，的取值范围是10分当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数，13分又，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为16分（）因为令7分当函数有极值时，方程有实数解，则 8分由，得. 9分当时，有实数，在两侧均有，故函数无极值，舍去； 10分当
20、时，方程有两个不等的实根，即有极值。故，当时，函数有极值。 12分【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测文科数学【原题】（本题满分15分）设函数（1）求的单调区间；（2）求在上的最大值和最小值；（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。【解析】(1)函数的定义域为1分，2分由，得，由，得3分的递增区间为，递减区间为4分（2），得（舍去）5分由（1）知在上递减，在上递增。6分当时，取最小值。又且7分在上的最小值为1，最大值为8分（3）方程，即，记，10分由得或（舍去），得在上递减，在上递增。12分为使方程在区间上恰好有两个相异的实根 只需在和上各有一个实根，
21、于是 ，即14分即实数的取值范围是 15分【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学（文科）试题卷【原题】（本题满分14分）设,函数.（1）讨论函数的单调区间和极值;（2）已知和是函数的两个不同的零点,求的值并证明:.函数的极大值为. 9分(2) ，解得:.10分 11分又, 13分由(1)函数在递减,故函数在区间有唯一零点,因此. 14分【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学试题【原题】（本小题满分14分）已知函数（）求函数的单调区间；（）若恒成立，试确定实数k的取值范围；（）证明：【解析】（）函数的定义域为，当时，则在上是增函数 ；当时，若
22、，则；若，则所以在上是增函数，在上是减函数（4分）（）由（）知时，在上是增函数，而不成立，故当时，由（）知要使恒成立，则即可故，解得（8分）（）由（）知，当时有在恒成立，且在上是减函数，所以在上恒成立令，则，即，从而所以 （14分）【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学试题（文）【方 法 总 结】1掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用，尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用2函数的性质与导数(1)在区间(a，b)内，如果0，那么函数在区间(a，b)上单调递增在区间(a，b)内，如果0，那么函数在区间(a，b)上单调递减(2)求极值的
23、步骤求；求0的根；判定根两侧导数的符号；下结论(3)求函数在区间a，b上的最大值与最小值的步骤求；求0的根(注意取舍)；求出各极值及区间端点处的函数值；比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)3解单调性的题目时要注意判断端点能否取到，用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡4对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误5函数与导数题充分体现导数的“传接性”和“工具性”，应用导数研究函数的性质、方程根的分布、不等式及曲线的切线等问题是新课程高考考查的重点和热点，敬请考生切实掌握题型规律，善于总结解题方法。