1、四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高二数学下学期期末联考试题 文（含解析）考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效3考试结束后由监考老师将答题卡收回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项是符合题目要求的1. 已知（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：把化为形式，得对应点为，从而可在第几象限.详解：，对应点为在第一象限.故选A.点睛：本题考查复数的几何意义，解题时需把复数化为标准形式，即的形式，它对应的点的坐标为.2. 已知集合，则集合的子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】先求集合的交集，再根据集合子集与元素的个数公式计算即可.【详解】因为，所以，故其子集的个数是.故选：C.【点睛】本题考查集合交集运算，集合子集个数的计算，是基础题.3. 已知
3、角顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边与直线有公共点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知在第四象限，根据同角三角函数的基本关系，计算即可得解.【详解】终边与直线有公共点，且，可知在第四象限，故，.故选：C.【点睛】本题考查三角函数在各象限的符号，考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.4. 春季，某小组参加学校的植树活动，计划种植杨树x棵，柳树y棵，由于地理条件限制，x，y需满足条件，则该小组最多能种植两种树苗共（ ）A. 12棵B. 13棵C. 14棵D. 15棵【答案】B【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数，转化为，由几何意义可知当
4、过点时，目标函数取得最大值，计算可得结果.【详解】由,且满足约束条件，画出可行域如下图所示：将目标函数，转化为，平移直线，当直线在y轴上截距最大时，经过，此时，目标函数取得最大值，最大值为13.故选：B.【点睛】本题考直线性目标函数的最值，一般利用平移直线找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.5. 数列的前n项和为，若，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用裂项相消法求解即可.【详解】，.故选：D【点睛】本题主要考查了裂项相消法求和的问题.属于较易题.6. 已知函数，则（ ）A. B. C. 9D. 【答案】C【解析】【分析】先计算，再计算，注意自变量的范围
5、【详解】，则，又，则故选：C【点睛】本题考查分段函数，求分段函数函数值时要注意自变量的取值范围，不同的范围选用不同的表达式计算7. 在中，三个角满足，且最长边与最短边分别是方程的两根，则BC边长为（ ）A. 6B. 7C. 9D. 12【答案】B【解析】【分析】首先根据题的条件，确定出最长边和最短边必定为b，c，且，利用韦达定理得到，利用余弦定理求得BC边长.【详解】因为，可知最长边和最短边必定为b，c，且，于是，根据余弦定理：，解得，故选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有韦达定理，余弦定理，属于基础题目.8. 运行下图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）A.
6、 6B. 7C. 63D. 64【答案】A【解析】【分析】根据题中所给的框图，模拟执行程序框图，求得结果.【详解】输入，且不是奇数，赋值，且不是奇数，赋值，且奇数，赋值，且不是奇数，赋值，且不是奇数，赋值，赋值，输出6.故选：A【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算程序框图的输出结果，属于简单题目.9. 四面体的顶点都在同一球面上，其中OA，OB，OC两两垂直，且，则该球面的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合三棱锥的特征，将四面体补成长方体，且该四面体的外接球就是所补成长方体的外接球，其对角线就是外接球的直角，从而求得结果.【详
7、解】根据题意，将四面体补成长方体，则长方体的对角线长为.四面体的四个顶点在同一球面上，则长方体的八个顶点也在同一球面上，长方体的对角线3就是球的直径.则球的半径，球的表面积为，故选：A.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有从同一顶点出发的三棱锥的三条棱两两垂直时，求其外接球可以应用补体来完成，属于简单题目.10. 函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】先求出在上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案.【详解】由已知，当时，当时，当时，所以在上单调，则或，故在上不单调时，a的范围为，AB是必要不充分条
8、件，C是充要条件，D是充分不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.11. 已知椭圆，焦点，.过作倾斜角为的直线L交上半椭圆于点A，以(O为坐标原点)为邻边作平行四边形，点B恰好也在椭圆上，则（ ）A. B. C. D. 12【答案】B【解析】【分析】设，根据四边形为平行四边形可得，利用椭圆方程可得，利用，且直线的倾斜角为60可得，即可得，代入椭圆方程并结合可得，从而可得结果.【详解】依题意可知，设，因为四边形为平行四边形，所以，又，所以，又，且直线的倾斜角为，所以，因为，所以，所以，
9、将其代入，得又，所以所以联立解得，.故选：B.【点睛】本题以椭圆为背景，考查了椭圆的性质，考查了斜率公式，考查了运算求解能力，属于中档题.12. 已知是定义在R上的函数，其导函数为，若，则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先构造函数，利用导数得到在上单调递增，再根据得到，再化简即可得到答案.【详解】由题知：构造函数，则，故函数在上单调递增，又因为，所以当且仅当时，成立，即，即，因此不等式的解集为.故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，其中构造函数为解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20
10、分13. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数，），则曲线C的普通方程为_【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系，消去参数求解即可.【详解】由，由，则故答案为：.【点睛】该题考查曲线的参数方程与普通方程的互化.属于较易题.14. 已知一组数据，的方差为2，则，这组数据的方差为_.【答案】【解析】【分析】根据方差性质公式计算即可.【详解】由性质可知，新的数据的方差为222=8.故答案为：8.【点睛】本题考查方差的性质，是基础题.15. 在平面直角坐标系中，已知点，现在矩形中随机选取一点，则事件：点的坐标满足的概率为_【答案】【解析】【分析】在坐标平面中画出可行域，再画出不等
11、式对应的平面区域，算出它们的面积后可得所求的概率.【详解】矩形围成的可行域如图所示.由可得，也就是，此不等式对应的平面区域如图阴影部分所示,则矩形的面积为，而阴影部分的面积为.则故答案为：.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，弄清随机事件对应的平面区域是关键，本题属于中档题.16. 已知双曲线的左右焦点分别为，点P在第一象限的双曲线C上，且轴，内一点M满足，且点M在直线上，则双曲线C的离心率为_【答案】【解析】【分析】首先得点，则，这样和的面积可表示出来，从而可得点坐标，代入直线方程得到的等式，变形后可求得离心率【详解】由图像可知，点，则，由，则，则，则，由，则，则，点，由点M在直线上，则，则
12、，由，则故答案为：.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于的齐次式，本题中利用和的面积得出点坐标，从而得到要找的等式三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数，其导函数为，不等式的解集为.（1）求a，b值；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值：，最小值：.【解析】【分析】（1）根据题意可得的解集为，利用韦达定理即可求解.（2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值与端点值即可求解.【详解】解：（1）由的解集为，则.（2）由（1）问可知，则x2大于零等于零小于零单调递增极大值单调递减则，由，则.【点睛】本题考查
13、了由一元二次不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值，考查了计算求解能力，属于基础题.18. 今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入(单位：千元)将摊主分成六个组，得到下边收入频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中t的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均数(单位：千元)；（2）已知从收入在的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自的概率.【答案】（1），中位数为(千元)，平均数为：(千元)；（2）.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有
14、长方形的面积和为1，列方程可求出t的值，利用中位数两边的频率相同可求出中位数，平均数等于各组中点值乘以对应的频率，再把所有的积加起来可得平均数；（2）利用分层抽样的比例求出和的人数，然后利用列举法把所有情况列出来，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）由，则，由，由，则中位数为(千元)，平均数为(千元)（2）由分层抽样可知应抽取2人记为1，2，应抽取3人记为a，b，c，则从这5人中抽取2人的所有情况有：，共10种情况，记其中2人收入都来自事件A，情况有3种，则.【点睛】此题考查了由频率分布直方图求中位数，平均数，考查了分层抽样，古典概型，考查了分析问题的能力，属于基础题.19. 如图
15、，矩形中，点E是边AD上的一点，且，点H是BE的中点，现将沿着BE折起构成四棱锥，M是四棱锥棱AD的中点（1）证明：平面；（2）当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，可证明平面平面，从而可得平面.（2）当四棱锥体积最大时，平面平面，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点为，连接，因为，故，而，故，因为平面，平面，故平面.同理，因为平面，平面，故平面，因为平面，平面，故平面平面，因平面，故平面.（2）当四棱锥体积最大时，平面平面.在上取点，使得，则， 故四边形为平行四边形
16、，所以，因，故.因为，故，故为等腰直角三角形，因，故，而平面，平面平面，所以平面.因为平面，故，故可建立如图所示的空间直角坐标系.所以，故.又，设平面的法向量为，则由可得，取，则，故.设平面法向量为，则由可得，取，则，故.所以.因为二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20.
17、 已知椭圆的左右焦点分别为、，若点在椭圆上，且为等边三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于、两点，若点在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）本题可以根据点在椭圆上得出，然后根据为等边三角形得出，即可写求椭圆的标准方程；（2）本题首先可以设出直线的方程为，然后联立直线方程与椭圆方程，得出以及的值，再然后根据点在以为直径的圆外得出，最后通过化简并计算即可得出结果.【详解】（1）因为点在椭圆上，所以，因为为等边三角形，所以，解得，故椭圆C的标准方程为.（2）因为椭圆C的标准方程为，所以，直线的方程为，设，则，联立方程，得，则，且恒
18、成立，因为点在以为直径的圆外，所以，即，整理可得，则，整理可得，或.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法以及椭圆与直线相交的相关问题的求法，考查向量的数量积的灵活应用，考查韦达定理的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.21. 已知函数在点处的切线方程为（1）求，的值；（2）已知函数的图像与的图像关于直线对称若不等式对恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导，利用导数的几何意义即可得出结果；（2）利用已知条件得出，把不等式转化为对恒成立，令，求导分析函数的单调性求出，即可得出结果.【详解】（1）由，又切点，则（2）由，则，由不等式对恒成立
19、，整理可得对恒成立，令，则，由有且仅有唯一的根为，则，所以，则，由x小于零等于零大于零单调递减极大值单调递增则，则【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数解决不等式恒成立问题.属于中档题.22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线C相交于MN两点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，化简即可得到答案.（2）首先将代入得到，再利用直线参数方程的几何意义即可得到答案.【详解】（1）由，则，则曲线C的直角坐标方程为.（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理可得，其两根分别设为，则由.【点睛】本题第一问考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查直线参数方程的几何意义，属于简单题.