1、3 圆周角和圆心角的关系 第1课时 1.理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用.(重点、难点)2.认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性.(难点)1.圆周角的定义：顶点在_，两边分别与_还有另一个交 点的角.2.圆周角定理 如图，当圆心O在圆周角的一边上时，OA=OC，OAC=OCA.又BOC=OAC+OCA,圆上 圆 1BACBOC.2【思考】(1)如图，当圆心O在圆周角的内部时，BAC与 BOC的上述关系是否还成立？为什么?提示：成立.理由如下：作直径AD.由图形可知：同理：即 1BADBOD.21CADCOD.211BADCADBODCOD.22 1BACBOC.2
2、(2)如图，当圆心O在圆周角的外部时，BAC与BOC的上述 关系是否还成立？为什么?提示：成立，理由如下：作直径AD.由图形可知：同理：即 1BADBOD.21CADCOD.211CADBADCODBOD,221BACBOC.2【总结】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_.一半 (打“”或“”)(1)顶点在圆心的角叫做圆心角.()(2)顶点在圆周上的角叫做圆周角.()(3)圆周角的度数是圆心角的一半.()(4)劣弧所对的圆周角都是锐角，优弧所对的圆周角都是钝角.()(5)一条弧所对的圆周角为50，则它所对的圆心角为100.()知识点 1 圆周角及圆周角定理【例1】(2013昭通中考)如图，
3、已知AB，CD是O的两条直径，ABC=28，那么BAD=()A.28 B.42 C.56 D.84【思路点拨】找出BAD所对的弧所对的圆心角BOD,结合已知条件ABC=28，可知ABC所对的弧所对的圆心角AOC的度数，进而确定BOD，再求出BAD.【自主解答】选A.因为AB，CD是O的两条直径，所以OB=OC，所以ABC=BCD=28，因为BCD，BAD都是弧BD所对的圆周角，所以BAD=BCD=28.【总结提升】圆周角与圆心角的区别与联系 名称 关系 圆心角 圆周角 区别 顶点 顶点在圆心上 顶点在圆周上 个数 在同圆中,一条弧所对的圆心角惟一 在同圆中,一条弧所对的圆周角有无数个 联系 位
4、置 两边都和圆相交 大小 关系 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 知识点 2 圆周角定理的应用【例2】如图,在O中,直径AB与弦CD相交于点P,CAB40,APD65.(1)求ABD的大小.(2)已知圆心O到BD的距离为3,求AD的长.【解题探究】1.连接OC，CAB和CDB各是什么角？有什么关 系？你能求出CDB的度数吗？提示：CAB和CDB都是圆周角，它们所对的弧所对的圆心角 都是COB，所以 1CABCDBCOB40.2 2.APD和CDB,ABD有怎样的关系？提示：APD是BPD的外角，有APD=CDB+ABD.3.由2可求出ABD=_-_=_-_=_.4.过点O作OEBD于
5、E,则OE_，由垂径定理可知，BE_DE.OAOB，线段OE是ABD的_，AD_.APD CDB 65 40 25 3 中位线 2OE 6【总结提升】圆周角定理 一条弧所对的圆周角有无数个,但它们与圆心角的位置关系,归纳起来,只有三种情况：(1)圆心在圆周角的一边上.(2)圆心在圆周角的内部.(3)圆心在圆周角的外部.以上三种情况,圆周角定理都成立,证明圆周角定理成立的过程,体现了由特殊到一般的数学思想方法.圆周角定理成立的前提是“在同圆中,并且圆周角和圆心角对应同一条弧”,不能简单表达为“圆周角等于圆心角的一半”.题组一：圆周角及圆周角定理 1.(2013滨州中考)如图，在O中，圆心角BOC
6、=78，则 圆周角BAC的大小为()A.156 B.78 C.39 D.12【解析】选C.根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 是它所对的圆心角的一半，所以 1BACBOC39.22.如图，A，B，C是O上的三个点，ABC=25，则AOC的度数是_.【解析】圆周角ABC与圆心角AOC对着同一条弧，AOC=2ABC，又ABC=25，所以AOC=50 答案：50 3.如图，A，B，C，D，E是O上的五个点，则图中共有_个圆周角，分别是_.【解析】图中共有6个圆周角,分别是ACB，ACE，BCE，BDE，CED，CBD.答案：6 ACB，ACE，BCE，BDE，CED，CBD 4.如图，若AB
7、是O的直径，CD是O的弦，ABD=55，则BCD的度数为_.【解析】连接OD,ABD=55,AOD=2ABD=110,又AOD+BOD=180，BOD=70，答案：35 1BCDBOD 3525.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半 圆上.点A，B的读数分别为86，30,则ACB的大小为_.【解析】设半圆的圆心为O,连接OA,OB,则圆心角AOB=56,因此圆周角 答案：28 1ACB5628.2 6.(2013黔西南州中考)如图所示O中，已知 BAC=CDA=20，则ABO的度数为_.【解析】连接OA，OC，则COB=2BAC=40，AOC=2CDA=40，所以AOB=80
8、，所以ABO=(180-80)2=50.答案：50 题组二：圆周角定理的应用 1.如图，A,B,C在O上，已知ABO40，则ACB的大小为 ()A.40 B.30 C.50 D.60【解析】选C.在O中，OAOB，所以ABOBAO40，所以AOB100，所以 1ACBAOB5022.如图，在ABC中，AB为O的直径，ABC=60，BOD=100，则C的度数为()A50 B60 C70 D80 【解析】选C.因为BOD=100，所以OAD=50，又因为ABC=60，所以C180-60-5070.3.如图,点O为优弧 所在圆的圆心,AOC=108,点D在AB的 延长线上,BD=BC,则D=_.【解
9、析】由圆周角的性质可得,答案：27 1ABCAOC54,21BDBC,DBCDABC27.2 ACB4.在O中，直径ABCD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CFAD.求ADC的度数.【解析】在O中，D为圆上一点，AOC=2ADC.EOF=AOC=2ADC.在四边形FOED中，CFD+ADC+DEO+FOE=360,90+ADC+90+2ADC=360,ADC=60.5.如图，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD.(1)P是 上一点(不与C,D重合)，试判断CPD与COB的大 小关系，并说明理由.(2)P是 上一点(不与C,D重合)，试判断CPD与COB有 什么关系？并证明你的结论.CA
10、DCD【解析】(1)CPD=COB.连接OD.AB是直径，ABCD，(2)COB+CPD=180.CPD+CPD=180，CPD=COB，CPD+COB=180.11COBDOBCOD,CPDCOD22CPDCOB.，【变式备选】点A,B,C在O上，若AOC160，则ABC的度数是()A.80 B.160 C.100 D.80或100 【解析】选D.如图：若点O在AB1C内部，若点O在AB2C外部(在AB1C内部)，四边形AB1CB2内接于O，AB2CAB1C180，此时，AB2C18080100.11AB CAOC802；【想一想错在哪？】在半径为R的圆中，有一条弦分圆周为12两部分，则弦所对的圆周角为_.提示：弦所对的圆周角有两个，忽略了优弧所对的圆周角.